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Darstellende Geometrie.
der Ebene ABC, und E >_die gesuchte Verticalspur. Fügt man noch dieSpuren JD\ und D-> der Geraden BC hinzu, so müssen diese auch auf dengefundenen Spuren der Ebene ABC liegen; man erhält dadurch eine Probefür die Genauigkeit der Construction.
Hat man durch P (Fig. 264) eine Ebene zu legen parallel zu den Geraden aund b, so muss diese Ebene die beiden Geraden enthalten, welche durch P parallelzu a und b gelegt sind Die Grundrisse dieser Geraden sind die Geraden a 1und ß', welche durch P' parallel zu a' und b' gelegt werden; und die Aufrissea" und ß" gehen durch P" parallel zu a" und b". Die Spuren der gesuchtenEbene sind die durch die gleichnamigen Spuren von a und ß gelegten Geraden.
§ 4. Die Projection des Kreises.
1. Die Projection des Kreises heisst Ellipse. Legt man durch den Mittel-punkt eines Kreises eine Ebene II parallel zur Projectionsebene II v so ist dieProjection des Kreises auf II der Projection auf II x congruent. Statt daher dieProjection des Kreises auf eine beliebige Ebene zu untersuchen, genügt es, dieProjectionsebene durch das Centrum des projicirten Kreises zu legen.
Die Projection eines Kreisdiameters wird von der Projection des Kreismittel-punktes halbirt. Die Projection des Kreismittelpunktes hat also für die Ellipsedie Eigenschaft, dass sie die Mitte aller durch sie hindurchgehenden Ellipsen-sehnen ist. Man nennt sie daher das Centrum der Ellipse, und die durch dasCentrum gehenden Sehnen heissen Ellipsendiameter.
Während alle Kreisdiameter gleich sind, sind die Ellipsendiameter von un-gleicher Länge, denn sie sind die Projectionen der unter verschiedenen Winkelngegen die Projectionsebene geneigten Kreisdiameter.
Die Projection einer gegebenen Strecke (eines Kreisdiameters) wird amgrössten, wenn die Strecke der Projectionsebene parallel ist; alsdann ist dieProjection gleich der projicirten Strecke; sie wird immer kleiner, je grösser der(spitze) Winkel wird, den die Strecke mit der Projectionsebene bildet. Unterallen Geraden einer Ebene JE, die durch einen festen Punkt II derselben gehen,bildet die durch II gehende Hauptlinie den kleinsten Winkel mit der Projections-ebene, nämlich den Winkel 0°, und die durch II gehende Falllinie den grössten,nämlich den Neigungswinkel a der Ebene E gegen die Projectionsebene;dreht man eine Gerade auf E aus der Richtung der Hauptlinie bis in die derFalllinie, so wächst deren Neigungswinkel gegen II von 0° bis a.
Hieraus ergiebt sich: Der grösste Ellipsendiameter ist die Projection desKreisdiameters, der mit der Projectionsebene parallel ist, und ist gleich demKreisdiameter. Der kleinste Ellipsendiameter ist die Projection des Kreisdiameters,der auf dem vorigen senkrecht seht; dieser Ellipsendiameter steht senkrecht aufdem grössten und ist gleich dem grössten, multiplicirt mit dem Cosinus desWinkels, unter dem die Kreisebene gegen die Projectionsebene geneigt ist.
Der grösste Ellipsendiameter heisst die grosse Achse der Ellipse, derkleinste die kleine Achse; jener wird mit 2a, dieser mit 2b bezeichnet. Ista der Neigungswinkel der Kreisebene gegen die Ellipsenebene, so hat man alsofür die Halbachsen die Formel:
b = a • cos a.
2. Um einen Kreis mit dem Radius a auf eine Ebene durch das Centrumunter einem Winkel a zu projiciren, zeichne man in der Projectionsebene dieUmlegung des Kreises und ziehe durch O die Spur A±A der Kreisebene. Dann