630

Darstellende Geometrie.

r?' 1

7 r W = *Jür*

Ebenso ergiebt sich:

P X 'B = P X <B X , also P x D-r = 2P' x =P< x n x = P' x ?ß x •-Ul'P x ' 1

fol s lich p^wr^'

Dies ergiebt den Satz:

Für alle Hyperbelpunkte hat der Abstand von einem festen, aufder Hauptachse gelegenen Punkte zum Abstande von einer festen, zurHauptachse normalen Geraden ein constantes Verhältniss, das grösserals die Einheit ist.

Man überzeugt sich leicht, dass diese Schlüsse und Constructionen umkehr-bar sind und gewinnt so den Satz:

Der Ort der Punkte, deren Abstand von einem festen Punkte zumAbstand von einer festen Geraden ein gegebenes Verhältniss hat,das grösser als 1 ist, ist eine Hyperbel, deren Hauptachse durch denfesten Punkt normal zu der festen Geraden geht.

Der Punkt 2' wird als Brennpunkt (Focus) der Hyperbel, die Gerade Aals Directrix bezeichnet.

Aus der doppeltsymmetrischen Gestalt der Hyperbel folgt, dass es zwei

Brennpunkte F und F x undzwei Directricen A und A x& . giebt, die symmetrisch zumCentrum der Hyperbelliegen, so dass für alleHyperbelpunkte auch derAbstand von F 1 zum Ab-stande von Aj das constanteVerhältniss 1 : sin e hat.

14. Bezeichnen wir1 : sin s mit e, so ist:

PF=* e ■ P p, PF x —e -Piß x ,mithin

PF X — PF=e(P$ 1 —Piß)= e-D x D = 2e- OD.Hieraus folgt: DieDifferenz der Abständejedes Hyperbelpunktsvon den beiden Brenn-punkten ist constant.

Insbesondere gilt fürdie Scheitel der Hyperbel,d. i. für die auf der Hauptachse liegenden Punkte A und A x :

FA X — FA=-2e ■ OD, alsoOA = a = «• OD.

Also folgt: PF \— PF—2a.

Auch dieser Satz ist umkehrbar. Aus demselben folgt eine einfache Con-struction der Hyperbel.