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Analytische Geometrie.
R
A,
a 2
A,
^0
0
0
0
A 3
A^
A,
A 0
0
0
0
A ..
Az
A 1
Ao
^3
P 2
b[
B 0
0
0
0
Bz
Bz
B 1
B 0
0
0
0
Bz
Bz
B l
Bo
= 0.
Denkt man sich statt R zunächst eine andere Determinante R', welche ausR hervorgeht, indem man die Nullen jeder Zeile durch Symbole A und B ersetzt,die man derart mit Indices versieht, dass die absteigende Folge der Indices injeder Zeile nicht gestört wird (so dass man also die Nullen der ersten Zeile derReihe nach durch yf_, und A — 2 , die der letzten durch und B x ersetzt), undbezeichnet dann das Element, welches der z'ten Zeile und der /Hen Colonneangehört, mit c lk , so überzeugt man sich leicht, dass in den ElementenpaarenCikCrs und Ci s c r k, wenn man die c wieder durch die Elemente von R! ersetzt,
die Summe der unteren Indices dieselbe ist; z. B. ist c
23 t 46
A 2 B-
und
c 26 c 43 = A- X B X , die Summe der Indices also in beiden Paaren gleich Null.
Hieraus folgt sofort, dass in der Determinante R' die Summe der Indicesaller Glieder gleich der Indexsumme des Diagonalgliedes, also = 9 ist. DieseThatsache wird nicht geändert, wenn man A ;> -=A X =A- X = A^ 2 = B- = B x= B— j = B— 2 = 0 setzt, und dadurch zur Determinante R zurückkehrt. Danun der Index an A oder B den Grad dieser Funtion in Bezug auf die Coor-dinate x x angiebt, so folgt: Die Determinante R ist vom neunten Gradebezüglich der Unbekannten x x .
Wählt man nun für x x eine der neun Wurzeln der Gleichung R = 0, undsetzt diese in die beiden Gleichungen F' = 0 und F" = 0 ein, so lässt sichzeigen, dass diese beiden Gleichungen wenigstens eine gemeinsame Wurzel x 2haben. Denn multiplicirt man die Colonnen in R der Reihe nach mit x§, x£,
C Z>
und addirt die zweite etc. zur ersten Colonne, so erhält man
F,
A 2
A i
A 0
0
0
x 2 F’,
1 A$
Az
Ai
A 0
0
xiF' ,
0
^3
^2
A x
Ao
F",
B 2
Bi
B 0
0
0
x 2 F",
, B x
Bz
B,
Bo
0
xiF',
, 0
Bz
Bz
Bi
Bo
R = 2 ’ 3 2^1 o - pp< , Q pt r
^ n n n n n — \L r
Hierin sind P und Q quadratische Functionen von x 2 . Nimmt man nunfür x x eine der neun Wurzeln von R = 0, sowie für x 2 der Reihe nach diezugehörigen Wurzeln von F" = 0, so wird R = PF' + QF" = 0, und F" — 0,also auch FF ' = 0. Da nun P vom zweiten Grade ist, so muss für wenigstenseine der drei Wurzeln x 2 die Function F' verschwinden.
Um diese Wurzel zu bestimmen geht man auf die Gleichungen zurück
F' =
Az
+
A x xi
-t-
q x 2
= o,
x 2 F »
A 3 x s
4-
A 2 xi
-+-
+
^0
= o,
F" =
B-.i
-F
B 2 X 2
-t-
B x xi
+
= 0,
XzF" B
$Z X 2
+
B 2 xi
-P
B x x£
-p
Bo
= 0.
Man schliesst aus ihnen das Verschwinden der Determinante
9.
A 3 A^X^y
Al
^0
0
■^Z x 2>
^2
Ai
A,
B z B 3 x 2 ,
Bl
Bz
0
B z X 2 y
Bz
Bi
B,
= N 0 + S x x 2 — 0,
und erhält die gesuchte Wurzel x 2 = — S 0 : S x .