§ 15 - Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 167
Haben die Gleichungen F’ und F" zu der Wurzel x x zwei gemeinsameWurzeln für x 2 , so verschwindet S identisch, und zur Berechnung der beidenWurzeln genügen die beiden Gleichungen
F' A 3 4- A 2 x 2 4- A x x^ 4 - A 0 x 3 3 = 0,
F" = B 3 4 - B 2 x 2 4- B x x£ 4 - B 0 x 2 3 = 0,aus denen man durch Elimination von x 2 3 die quadratische Gleichung erhältA 0 (B 3 4 - B 2 x 2 4- B x x 2 2 ) — B 0 (A 3 4- ^ 2 ^ 2 2 ) = 0,welche die beiden gemeinsamen Wurzeln x 2 ergiebt.
Im Allgemeinen gehört zu jeder Wurzel x x der Gleichung B = 0 eine ge-meinsame Wurzel x 2 = — S 0 : S x der Gleichungen F' = 0 und F'' =0. Wirschliessen hieraus: Zwei Curven dritter Ordnung haben neun Schnitt-punkte; davon ist wenigstens einer real.
3. Soll eine Curve III. O. durch acht Punkte F x , P 2 .so stelle man die neun Gleichungen auf
P g gelegt werden,
1.
a x j x xf
-+-
1 2 X l x 2
A-
3^11 3*1
4- . .
. 4-
a 3 3 3*3
=
0,
2.
a m x ii
4-
& a ll 2 X 11 X 2 1
4-
3«i j 3*11*31
4- . .
. • 4-
^3 3 3*31
*=
0,
3.
a ll 1 X 12
4-
& a ll1 X 12 X 2 2
4-
3a x , 3 xf 2 x 32
4- . .
. 4-
a 3 3 3*3 2
=
0,
9.
a \ 11*18
4-
3^1 1 2* 2 8*2 8
4-
3d xx 3* 2 8*3 8
4- . .
. 4-
^3 3 3*3 8
=
0.
Man schliesst hieraus das Verschwinden der Determinante
a lll x l 4-3a 112 *i x 2> *1 *3> *i*f> *4* 2 *3> *l*f> *2 > *l*3> *2*3> *f
a \n x ii~F3a xx2 x xx x 2x , x xx ' 3X , .*3 3
lO.fss
a i 1 i x i2~t~3& x x 2 x X 2 x 2 2 , x x 2 x 32 , . X
1 1 1*1 8 ! 2*18*2 8» *1 8*3 8’
Diese Determinante zerfällt in die Summe zweier Determinanten11. /=«in/' + 3« 112 /",
wobei /' und f" die Functionen dritten Grades sind
Y' 3
t
x^x 3 , x^x 2 , x x x 2 x 3 ,
*1*3 2 »
y 3**2 >
•V*2-v» y y 2 y 3
**2 > *^2^3 > **3
y 3
X 1 1 >
*11*31» .
_ v 3
12.
f -
y- 3x \ 2 >
*?2*32>.
y 3
X 1 8 >
*18*3 8 ’ .
13. /"
x \ x 2 *
* 1 2 1*21 ’* 1 * 2*2 2 ’
c 3 1
*18*2 8’ *1 2 8*3 8> . ' X 3S
Die Gesammtheit der durch die gegebenen acht Punkte gehenden Curvendritter Ordnung ergiebt sich, wenn man in 11. dem Verhältniss der beiden unbe-stimmt gebliebenen Coefficienten a xxx : 3a xx2 alle möglichen Werthe giebt.
Aus 11. folgt, dass alle Punkte, für welche /’ = 0 und /" = 0 ist, auchauf der Curve f— 0 liegen. Nun sind f = 0 und f" = 0 zwei völlig bestimmteCurven dritter Ordnung, haben also neun bestimmte Schnittpunkte. Unter diesensind die acht gegebenen Punkte, da für jeden derselben die erste Zeile in fund f" mit einer der übrigen identisch wird, und daher f und f" verschwinden.Wir schliessen daher: Alle Curven dritter Ordnung, die durch achtgegebene Punkte gehen, haben noch einen durch die gegebenenPunkte bestimmten neunten realen Punkt gemein.