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Analytische Geometrie.
Oder: Wenn zwei Curven III. O A und B durch acht Punkte einerCurve III. O. C "e! er, so lie ,r t auch ihr neunter Schnittpunkt auf C.
4. Die Coordinaten der Sc'nittpunkte der Curve x^x^xi = 0 und der
Geraden a x x x -p a 2 x._ -p a % x 3 = 0 sind die Lösungen des Systems
x. x., x.,
1. i a.kiXiXkXi = 0, 2. a x x x -p a 2 x 2 + a 3 x 3 — 0, 3. -P ^ -p = 1 .
Aus den Gleichungen 2. und 3. kann man x 2 und x 3 linear durch x x aus-drücken. Setzt man diese Werthe in 1., so erhält man eine cubische Gleichungfür x x ; zu jeder der drei Wurzeln folgen dann aus 2. und 3. die zugehörigenWerthe von x 2 und x 3 . Wir sehen daher: Eine Curve dritter Ordnunghat mit einer Geraden drei Schnittpunkte, von denen wenigstenseiner real ist.
Legt man eine Gerade durch zwei Punkte PP X einer Curve III. O. C'",so hat dieselbe mit C"' noch einen Punkt Q gemein. Rückt man P x an P,bis der Abstand PP X verschwindet, so bleibt Q im Allgemeinen in endlicherEntfernung von P x und die Gerade PP X wird zur Tangente der Curve. Wirfinden daher: Eine Gerade, die eine Curve dritter Ordnung in einemPunkte P berührt, schneidet die Curve noch in einem realen Punkte Q.
Dieser Punkt Q wird der Begleiter des Punktes P genannt.
Um die Coordinaten der Schnittpunkte einer Curve dritter Ord-nung und eines Kegelschnittes zu finden, setze man
in die Gleichung der C'" und des Kegelschnitts ein und ordne die nun ent-stehenden Gleichungen nach Potenzen von x 2 . Man erhält aus den Gleichungender C" und des Kegelschnitts
5. P A 3 -p A 2 x 2 —p A 2 x 2 -P AqX 2 ~~ Ü,
6. G = B 2 -p B x x x -+- B qX 2 = 0,
wobei für die A und B dasselbe gilt wie in No. 2.
Aus dem Verein der Gleichungen
P = A 3 -p A 2 x 2 -P A x x 2 —P AqX 2 = 0,
x 2 P = A 3 x 2 + A 2 x 2 -p A x x$ -p A 0 x£ = 0,
G = B 2 -p B x x 2 -p B 0 x$ = 0,
x 2 G = B 2 x 2 -P B x x? 2 -p B 0 xg = 0,
xjjG = B 2 x% -p B x x% -p B 0 x% = 0,
folgt das Verschwinden der Determinante
A 3
^2
A
A
0
0
^3
^2
A x
Aq
B 2
Bi
B 0
0
0
0
b 2
Bi
Bo
0
0
0
b 2
Bi
B*
Man sieht leicht, dass P sechsten Grades für x x ist.
Multiplicirt man die Colonnen in P von der zweiten an der Reihe nach mitx 2 , xg, x$, x,f und addirt sie dann zur ersten, so entsteht
F
A ,
Ai
^0
0
x 2 P
^3
^2
Ai
Ao
G
Bi
Bo
0
0
x 2 G
b 2
Bi
B 0
0
x$G
0
b 2
Bi
B 0
8 .
P =
= PF -p QG