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Analytische Geometrie.

III. O. zerfällt also in die doppelt zu zählende Rückkehrtangenteund in die durch den Rückkehrpunkt gehende Gerade

y 1 = «233^2 “h ß 3 3 3*3 — 0.

Legt man den Eckpunkt A 2 des Coordinatendreiecks auf die Gerade T, somuss «233 =0 sein; in Bezug auf dieses Coordinatensystem lautet also dieGleichung der Curve III. O. mit Rückkehrpunkt:

2 .

/ = 3«!

22 " 1 !'

3 a

223

x4x, -+- «.,

3 33

r 3 -

c 3 —

0 .

Wir bemerken, dass die Curve mit ihrer HESSE’schen Curve ausser denRückkehrpunkt noch einen immer realen Punkt gemein hat, nämlich den Punkt,der sich aus x 3 = 0 und/= 0, also aus x 3 = 0 und 3 «j 2 2*i -+- « 222*2 = 0bestimmt.

Ist p ein Wendepunkt (Inflexionspunkt) einer Curve III. O. und II auf derWendetangente (d. i. auf der Tangente im Wendepunkt) gelegen, so muss dieGleichung 3 [/ufrHi 2 + 2/ 12 ()c)- M 2 + 2 /isOO’Ms -+-/ 22 ÖO' + 2 / 2 3 (t)-; 2 ^

-+- f 33 (f) • £|] -+- /(;) • p = 0, durch welche der Begleiter der Tangente in Pbestimmt wird, die Wurzel p = 0 ergeben. Die Bedingung hierfür ist, dass

F =fi 1 W 2 00' 3 Ö0' 6163 +/ 22 W-+ 2 / 2 3 00‘Ms-h/s sOO'?|= 0 -

Ausserdem erfüllt II noch die Gleichung der Wendetangente

+/,G0e, = 0 .

Beide Gleichungen können nur dann für unzählige Punkte II zusammen-bestehen, wenn F zwei Gerade darstellt, deren eine T ist. Zerfällt F in zweiGerade, so verschwindet für die Coordinaten des Punktes p die Determinante

fi 1 fi 2 fi 3

H = fi, f 22 f ,3 — 0;

fl 3 /ä3 fi 3

die Wendepunkte einer Curve III. O. liegen also auf der HESSE’schenCurve.

Umgekehrt: Jeder Schnittpunkt einer Curve III. O. mit ihrer Hesse-schen Curve, der nicht Doppelpunkt ist, ist ein Wendepunkt. Dennist P ein solcher Punkt, so ist nach der Voraussetzung f(f) = 0 und H(f) = 0.Aus der letzteren Gleichung folgt, dass der Kegelschnitt F in zwei Gerade zer-fällt; aus No. 1, 6 erkennt man, dass F den Punkt P enthält. Die Gerade Tberührt F in p. Der Doppelpunkt D der Curve F genügt den Gleichungen

F l = flff)' x 1 -t-/l2<»-*2 +/lsW-*3 =

F i s /l2W'*l ■+■ / 22 fr)' *2 Ff 23 (j)‘X 3 = 0,

-^3 =/l3W -*l +/2sOO-*2 + fn(f)- *3 = 0.

Nach No. 1, 5 ist T s= -t- ? 2 F 2 -+- ? 3 F 3 . Hieraus folgt, dass D auf

T enthalten ist. Wenn nun P nicht Doppelpunkt von C'" ist, so werden von pdie Gleichungen F t = F 2 = F 3 = 0 nicht erfüllt, also sind P und D verschieden;folglich ist T ein Theil von F, d. i. jeder Punkt, der T = 0 erfüllt, genügt auchF = 0; folglich hat die Gleichung No. 1, 2 für jeden Punkt II der Geraden Tdrei Wurzeln p = 0, w. z. b. w.

Eine Curve III. O. ohne Doppel- oder Rückkehrpunkt hat daherneun Wendepunkte; eine Curve III. O. mit Doppelpunkt hat dreiWendepunkte; eine Curve III. O. mit Rückkehrpunkt hat einen realenWendepunkt.

8 . Sind auf einer Geraden zwei Punkte A t A 2 gegeben, so haben wir einemPunkte P der Geraden einen andern Punkt II in Bezug auf A X A 2 harmonischzugeordnet, indem wir für die Verhältnisse p t und p 2 , in welchem die Strecke