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§ l6. Tangente und Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Curve dritter Ordnung. 181

ißü von den Punkten A x und A 2 getheilt wird, die Gleichung festsetzten

Pi + P 2 = 0.

Hiervon ausgehend, ordnet man einem Punkte iß in Bezug auf «PunkteA X A 2 . . A„, die mit ihm auf einer Geraden liegen, die Punkte zu, für welchedie Verhältnisse jxj, jx 2 , . . |x„, in denen die Strecke Sß II von A X A 2 . . A„ getheiltwird, den Bedingungen genügen

h + h + Fs + • ■■ + I 1 * =0,

P 1 P 2 + P 1 P 3 + • • • + p*-ip* = 0,

2 Jiy, JXZ Pc 0 , S Prt pz |X C [Xrf 0 , • • . . |X„ |XZ |X C . . . JX r 0,

wobei für abc, abcd, . , abc . . r alle Combinationen dritter, vierter, . . .

(« — l)ter Klasse aus den Zahlen 1, 2, 3 ... zu nehmen sind. Setzt man PAi = d,,P FI = x, so ist

PAi PAt di

N — AM

PU — PAi x — di'Wird dies in 2jx„|x<s • ■ p,t = 0 eingesetzt, so entsteht

y da di d c di-

di

= 0.

x — d a x — di x — d c ' ’ ’ x — dkMultiplicirt man diese Gleichung mit (x — d x )(x — d 2 ) (x — d 3 ) . . . (x — d n ),so verschwindet in jedem Gliede der linken Seite der Nenner, und das Produktd a di . . . dk wird mit dem Produkte von n — k Differenzen x — dj multiplicirt.Die Gleichung 1. wird daher vom Grade («— k) in Bezug auf x, und wirdfolglich von n — k Punkten fl erfüllt.

Die Gruppe der (« — k) Punkte II, welche der Gleichung genügen

2p»PZP^ . . . |XA = 0,

nennt man die harmonischen Pole («— /£)ten Grades der PunkteA x A 2 . . A„ in Bezug auf den Punkt iß.

9. Besteht die Gruppe der Punkte A aus drei Punkten A x , A < 2 , A 3 , sogiebt es zu jedem Punkte iß zwei harmonische Pole zweiten Grades und einenharmonischen Pol ersten Grades, die sich der Reihe nach aus den Gleichungenergeben

1. Pi -+- f *2 + Pä = 0» P 1 P 2 + P 2 P 3 + P 3 P 1 =

Dividirt man dieselben durch |Xj |x 2 ;x 3 , so entsteht

« 1 1 1 „ 1 1 1 „

2. — 0, -+- -f- — 0.

P 2 P 3 P 1 P 3 P 2 P 1 P 3 Px Pi

Nun sind 1 : p t , 1 : [x 2 , 1 : jx 3 die Theilverhältnisse 11^ : ^jiß . . . ., alsowerden durch die Gleichungen 2. die harmonischen Pole ersten und zweitenGrades für den Punkt II in Bezug auf die Punkte A 1( A 2 , A 3 definirt. Hierausfolgt: Ist II ein harmonischer Pol zweiten Grades von iß, so ist iß derharmonische Pol ersten Grades von 11; und umgekehrt: ist II der har-monische Pol ersten Grades von iß, so ist iß ein harmonischer Polzweiten Grades von II.

Drückt man die Bedingungen 1. durch die Grössen x und d aus, so erhält man

3. d x (x — d 2 ) (a: — d 3 ) + d 2 (x — d 3 ) (x — d x ) -+- d 3 {x — d x ) (x — d 2 ) — 0,

4. d x d 2 (x — d 3 ) d 2 d 3 (x — d x ) + d 3 d x (x — d 2 ) = 0.

Fällt iß mit einem der drei Punkte A, z. B. mit A 3 zusammen, so ist d 3 = 0,und die Gleichung 3. vereinfacht sich zu d x (x — d 2 ) x -t- d 2 • x (x — d x ) = 0.Eine Wurzel dieser Gleichung ist zc = 0, die andere folgt ausd x (x — d 2 ) -+- d 2 (x — d x ) = 0;

durch diese Gleichung wird der harmonische Pol von iß in Bezug auf das Punkt-