§ 2. Transformation rechtwinkeliger Coordinatensysteme.

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5. Hat das neue System weder dieselben Achsenrichtungen, noch denselbenNullpunkt wie das ursprüngliche, so kann man ein Hülfssystem einschalten, dasmit dem ursprünglichen in Bezug auf die Achsenrichtungen und mit dem neuenin Bezug auf den Nullpunkt übereinstimmt.

Sind x, y, z, x', y', z' die Coordinaten eines Punktes P im ursprünglichenbez. im neuen Systeme, sind ferner a, b, c die Coordinaten des neuen Nullpunktsin Bezug auf das alte System, und werden die Cosinus der Winkel der Achsendes neuen Systems mit den Achsen des alten wie in No. 3 bezeichnet, so hatman die Transformationsformeln

x = a -h a l x' <x 2 y' -h a 3 z',

y = b -+- ßr*' -+- P ä / + P 3 s'>

z = c + -ux' ■+■ t 2 / -+- t 3 z'.

6. Wenn zwei orthogonale Coordinatensysteme X YZ und X' V Z' einengemeinsamen Nullpunkt haben, so kann die Ebene XOY in die neue LageX'OY' auf folgende Weise übergeführt werden.

Wir bemer-ken zunächst,dass in allenCoordinatenebe-nen der positiveDrehungssinn fürWinkel so ge-wählt sein soll,dass die WinkelXOY, XOZ,YO Z rechte Win-kel (und nicht= 270°) sind. Wirbeachten nun dieSchnittgeradeder EbenenX'OY’und XOY

(M. 439.)

X

und entscheiden

über ihren positiven Sinn; OH sei eine positive Strecke dieser Geraden. Hieraufdrehen wir das Coordinatensystem XYZ um die Achse OZ, so dass die AchseOX den Winkel XOH beschreibt; dabei komme OY in die Lage Oty. Nun be-merke man die Schnittlinie der Ebenen X’OY' und OZ; die positive Strecke0%’ auf dieser Geraden wähle man so, dass HO J] 1 ein rechter Winkel (undnicht = 270°) ist, und drehe das Coordinatensystem H%)Z um die Achse OH so,dass 0%) den Winkel d?§)' beschreibt; hierdurch komme OZ in die Lage 03-

Schliesslich drehe man das Coordinatensystem 3£@'3 um die Achse O 3 so,dass OH den Winkel HOX' beschreibt; dann fällt die T-Achse mit OX', und,da HO%’ — X'O Y' — 90°, auch die F-Achse mit OY’ zusammen.

Hat man so durch drei aufeinander folgende Drehungen um die Achsen OZ,OH, und O 3 die XF-Ebene in die neue Lage X'O Y' gebracht, so fällt die AchseOZ' entweder mit O 3 zusammen, oder bildet mit 03 einen gestreckten Winkel.Im ersten Falle kann man das Coordinatensystem X YZ durch Drehung in dieneue Lage X'Y'Z' bringen, im andern Falle nicht; im ersten Falle bezeichnetman die Coordinatensysteme als gleichsinnig, im andern als ungleichsinnig.