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Analytische Geometrie.

Bei jeder einzelnen der drei Drehungen bleibt eine Achse des jeweiligenCoordinatensystems unverändert, also auch die parallel zu ihr gemessene Coor-dinate eines Punktes; die beiden andern Coordinaten ändern sich infolge derDrehung der Coordinatenebene, mit welcher sie parallel sind, für dieselben geltendaher die für Coordinaten in der Ebene aufgestellten Transformationsformeln.Bezeichnet man die Winkel XOY , 3)<93)', X0X' der Reihe nach mit ty, 9, <p,und die Coordinaten eines Punktes Pin den Systemen XYZ, TjlJZ, T^i’3. X'Y'%der Reihe nach mit x, y, z; x> Xp, z; jr, 9 ', 3 ; x',y', 3 ; so hat man die successivenTransformationsformeln:

a) für den Uebergang aus dem Systeme XYZ in das System

1. x = costy ■ x — sinty ■ 9 , y = sinip • x cos 9p ■ Xj, z = z;

(5) für den Uebergang aus dem Systeme X%Z in das System ■£ 3)'3:

2. x = X, 9 — fwD • 9 ' — ««9 - 3 , z = sink) ■ 9 ' -+- cosk) • 3 ;

■f) für den Uebergang aus dem Systeme .-E2)'3 in das System X'Y' 3:

3. x — cos<p ■ x' — sintp-y', 9 ' = situp ■ x' -+- costp-y', 3 = 3 .

Im Falle zweier gleichsinnigen Systeme hat man schliesslich z' = 3 , imFalle ungleichsinniger Systeme ist z' = — 3 .

Drückt man nun durch die Formeln 1., 2., 3. die ursprünglichen Coordinatenx, y, z durch die neuen Coordinaten x', y', z' aus, so ergeben sich die Trans-formationsformeln:

x = ( costpcos9p — sintp sin<\> cosk)) ■ x' — (sintp cos 4 - costp sin9p cosk)) -y'

± sin 9p sin ft ■ z',

4. y = (costp sin-+- sintp coscosk)) ■ x' — (sintp sin 9p — costp costy cos 8 ) -y'

=p costy sink } • z'

z = sintp sink) ■ x' -h costp sink) • y' ± cosk) • z'.

Hierbei gelten die oberen Vorzeichen für gleichsinnige, die unteren fürungleichsinnige Systeme.

Vergleicht man diese Transformationsformeln mit den Formeln in No. 4, soerhält man die neun Cosinus a x , <x 2 , a 3 , ßj, ß 3 , ß 3 , ■p 1 , -( 2 , ~[ 3 durch die dreivon einander nicht abhängigen Winkel cp, < \i, 9 ausgedrückt; man hat«i = costp cos —sintp sin9p cosk)) a 2 = — sin cp cos 9p—costp sin cosk)) a 3 = ± sintp sind;ßi = costp sin ty-h sin tpcosty cosk); ß 2 ==—sintp sin9p + costpcos9pcosk)) ß 3 — qz cos sink);7 i = sintp sink) ; j 2 = costp sink) ) =• ± r<v9 .

§ 3. Die Ebene, die Gerade und der Punkt.

Z

1. Fällt man aufeine Ebene T vom Null-punkte O aus eine Nor-male ON, so kann dieEbene als der Ort derPunkte definirt werden,die den Schnittpunkt Adieses Lothes und derEbene zur Normalpro-jection auf ON haben.Ist d die positiv zu rech-nende Strecke OA, sinda, ß, 7 die Winkel, welche

(M. 440.)