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Analytische Geometrie.
Projicirt man eine ebene Fläche auf die Ebenen eines orthogonalenCoordinatensystems, so ist die Summe der zweiten Potenzen der dreiProjectionen gleich der zweiten Potenz der projicirten Fläche.
7. Die Gleichung der durch die Punkte 1\ P 2 P a gehenden Ebene (No. 3)giebt nach den Gliedern der ersten Zeile entwickelt
: 0 .
Die Coefficienten von x, y, z stimmen rücksichtlich der absoluten Werthe
Ti
z t
1
•*1
Z 1
l
x i
y i
i
y i
2 i
1 .
Ts
1
• X —
x 2
Z 2
l
•y-h
x 2
y s
i
. z —
x 2
Ts
2 s
y-i
Z 3
1
x 3
Z 3
l
x s
Ts
i
x 3
Ts
*3
mit den doppelten Flächen der Dreiecke '"P 2 '"P a ", P^" P 2 " P a
PiP,'p,
überein; um die Gleichung 1. auf die Normalform zu bringen, hat man sie daher durch
2 y(/> 1 "'/y" J p 3 "')* + (p 1 "p 2 "p 3 'V + (zy/y^p = ± 2 • p,p 2 p,
zu dividiren. Bezeichnet man mit h 0 die von P ü ausgehende Höhe des TetraedersP ü P 3 P 2 P a und mit / 0 die Fläche P 1 P 2 P. i , so hat man daher (No. 5)
2/ 0
Xg
To
z o
1
X 1
Ti
z i
1
x 2
Ts
Z 2
1
x 3
Ts
Z 3
1
= ± h.
Hieraus folgt, wenn man mit V das Volumen des Tetraeders P 0 P 1 P 2 P abezeichnet:
*0
To
z o
l
*1
Ti
Z 1
l
*2
Ts
Z 2
l
*3
Ts
Z 3
l
Die Determinante stimmt also dem absoluten Werthe nach mit dem sechs-fachen Tetraedervolumen überein.
Um auch dem Vorzeichen eine geometrische Bedeutung zu geben, habenwir uns über den positiven oder negativen Sinn von Tetraedern zu entscheiden.Wir wollen ein Tetraeder ABCD als positiv oder negativ ansehen, je nachdemvon dem Eckpunkte A aus betrachtet das Dreieck BCD als positiv oder negativerscheint, vorausgesetzt, dass man für Dreiecksflächen eine bestimmte Drehrichtung(z. B. links herum) als die positive angenommen hat.
Die Tetraeder ABCD, ACDB, ADBC haben dasselbe Zeichen; dieTetraeder ACBD, ABDC, AD CB haben das entgegengesetzte Zeichen; denndie Dreiecke BCD, CDB, DBC erscheinen von demselben Punkte A aus ingleicher Drehrichtung, die Dreiecke CBD, BDC, D CB in der entgegengesetzten.
Lässt man also die erste Ecke unverändert und permutirt die drei andern,so haben die Tetraeder denselben Sinn, bei denen die drei letzten BuchstabenPermutationen von derselben Klasse sind.
Das Dreieck BCD erscheint von A aus in anderer Drehrichtung als dasDreieck A CD von B aus; die beiden Tetraeder AB CD und BACD sind daherungleichen Sinnes; und zugleich sind ABCD und BACD Permutationen vonverschiedener Klasse. Durch Vertauschung der ersten beiden Buchstaben undnachmalige Permutation der drei letzten Buchstaben kann man aber alle Per-mutationen der vier Buchstaben ABCD hersteilen. Wir sehen daher: Tetraeder,die sich nur durch die Anordnung der Eckbuchstaben unter-scheiden, sind gleichen oder ungleichen Zeichens, je nachdem dieFolge ihrer Eckbuchstaben Permutationen von gleicher Klasse sind,oder nicht.