§ 3- Die Ebene, die Gerade und der Punkt.
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Die Determinante
X
y
z
1
x x
Ti
z l
1
*2
y 2
Z 2
1
X3
Ts
Z 3
1
hat für zwei verschiedene Lagen II' und 11" des variabeln Punktes P im All-gemeinen verschiedene Wertlie A' und A"; sollen diese ungleiche Vorzeichenhaben, so muss A für einen Punkt der Strecke II'II" verschwinden. Hierausfolgt: Die Determinante hat für alle Punkte auf derselben Seite der EbeneP i P 2 P 3 dasselbe Zeichen und wechselt das Zeichen, wenn P von einer Seitevon P l P 2 P. i auf die andere Übertritt. Unter denselben Umständen behält oderwechselt aber auch das Tetraeder PI\ P 2 P. t das Zeichen; denn das DreieckP 1 P 2 P i erscheint von allen Punkten aus, die auf derselben Seite von P x P 2 P 2liegen, in derselben Drehrichtung, von Punkten auf verschiedenen Seiten aus inentgegengesetzten Drehrichtungen. Hieraus folgt, dass für alle Lagen der PunkteP 0 P 1 P 2 P $ die Determinante
*0 To z o 1
x i y 1 z i 1
X 2 T 2 Z 2 1
*3 y-i z s 1
dem sechsfachen Volumen des Tetraeders gleich oder entgegengesetzt gleich ist.Um nun zu entscheiden, welcher von beiden Fällen gilt, genügt es, ein Beispielzu untersuchen. Wir wählen das Tetraeder OS 1 S 2 S 3 (Fig. 440). Die Deter-minante A wird jetzt
0 0 0 1a 0 0 1
0*01 =~ abe -0 0 c 1
Rechnet man ein Dreieck ABC positiv, wenn die Drehungsrichtung von Aüber B nach C linksum erfolgt, und ist, wie in unseren Figuren, der positive Sinnder Coordinatenachsen so gewählt, dass vom Anfangspunkt aus gesehen einDreieck ABC positiv erscheint, dessen Ecken auf den Achsen OX, OY, OZliegen, und die Endpunkte der positiven Strecken OA, OB, OC sind, so ist dasTetraeder O S X S 2 S 2 positiv. Hieraus folgt, dass auch rücksichtlich des Vor-zeichens die Gleichung gilt
x g
To
z o
1
x x
Ti
Z 1
1
x 2
T 2
Z 2
1
x. 6
Ts
Z 3
1
ktes
der
drei
1
6 • PqPi P 2 P-i = -
Py = A^x -t- B 1 y -F C^z -F B)i — 0,
P 2 1= A 2 x — f B 2 y -f 0 2 z —F D 2 — 0,
Zg A 3 x -j- B 3 y -F Cg z —F -Cg 0.
sind die Werthe von x, y, z, welche den drei Gleichungen T x = 0, T 2genügen, also die Auflösungen des linearen Systems
A^x -F B^y -F Cj z = — -^0\ >
: o,r, = 0
1.
c 2 a
C x z —
C>> = -
A 3 x
■+■ B 3 y -+- C 3 z —
C 2
D,
Dieses System ergiebt