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Analytische Geometrie.

3. Für die Coordinaten der Punkte, die zwei Kugeln gemeinsam sind, be-steht der Verein der Kugelgleichungen

1. K x = a:* +j ! + 2 1 — 2a x x — 2b,y — 2c x z -+- d x = 0 ,

2. K 2 = x 2 -+- y 2 -+- z 2 — 2 a 2 x — 2b 2 y — 2c 2 z -\r d 2 = 0 ,

wobei d x und d 2 abkürzungsweise für a x 2 + b x 2 + c x — p 4 2 und # 2 2 -)- b£ ■+■ c£ — p 2 2gesetzt worden sind.

Durch Subtraction erhält man aus 1. und 2.

L = K x — K 2 = 2 (a 2 — a x )x + 2 (b 2 — b x )y + 2(c 2 — c x )z — ( d 2 — d x ) = 0.

Dies ist die Gleichung einer Ebene, die normal zu der Geraden steht,welche die Centren der beiden Kugeln verbindet; man nennt diese Ebene dieChordalebene der beiden Kugeln. Wenn die Kugeln sich schneiden oderberühren, so ist Z = 0 die Gleichung ihrer Schnittebene bez. ihrer gemeinsamenTangentenebene; und wenn die Chordalebene von den beiden Kugeln nichtgetroffen wird, so haben dieselben keinen realen Punkt gemein.

Für jeden Punkt der Chordalebene ist K x — K 2 = 0, also K x — Ä' 2 ; diesergiebt den Satz: Jeder Punkt der Chordalebene zweier Kugeln hatfür beide Kugeln gleiche Potenz. Umgekehrt sieht man leicht, dass jederPunkt, der für beide Kugeln gleiche Potenz hat, auf der Chordal-ebene liegt.

4. Die Chordalebenen der drei Kugeln K x = 0, K 2 = 0, Ä’ 3 = 0 habendie Gleichungen:

L\ 2 = K\ — K 2 ~ 0, Z 23 = K 2 — K, = 0, -£ 31 = K. t K x = 0.

Hieraus folgt die Identität Z 12 -t-Z 23 - L 3X = 0, und daher der Satz:Die drei Chordalebenen dreier Kugeln schneiden sich in einer Ge-raden; diese Gerade ist normal zur Ebene der Kugelcentren und gehtdurch den Chordalpunkt der drei Kreise, welche diese Ebene mitden Kugeln gemein hat; sie ist der Ort der Punkte, die gleiche Potenzfür die drei Kugeln haben. Diese Gerade wird als die Chordalachse derdrei Kugeln bezeichnet.

Vier Kugeln K x , K 2 , K 3 , K x , deren Centren die Ecken eines Tetraedersbilden, lassen sich zu sechs Paaren ordnen und ergeben daher sechs Chordal-ebenen; die Gleichungen derselben sind

L j 2 = Ä | ’ Zf 2 — 0 , L 2 3 ■ Ä 2 A 3 — (1,

L\ 3 ^ K\ K% — 0 , -^24 ^ -^2 ^4 = 0 ,

Z 14 = K x - Ä' 4 = 0, Z. i4 = Ä 3 — K x = 0.

Aus ihnen folgt die Identität Z 12 -H Z 23 -+- Z 34 — Z 14 = 0. Da nun Z 23mit Z 12 und Z 23 , sowie Z 34 mit Z 23 und Z 34 eine Gerade gemeinsam hat, sofolgt der Satz: Die sechs Chordalebenen je zweier von vier Kugelngehen durch einen Punkt; dieser Punkt hat gleiche Potenz für dievier Kugeln; er heisst der Chordalpunkt der vier Kugeln.

Legt man von einem Punkte A aus eine Tangente an eine Kugel K undbeschreibt eine Kugel K x , welche A zum Centrum hat und durch den Berührungs-punkt der Tangente geht, so schneiden sich die Kugeln K und K x unter rechtenWinkeln. Damit ein Punkt A das Centrum einer Kugel sei, welche gegebeneKugeln K x , K 2 , K 3 ... . normal schneidet, müssen die Längen der von A ausan die Kugeln gelegten Tangenten, von A bis zum Berührungspunkte gerechnet,gleich sein. Wir schliessen daher aus den obigen Sätzen: Der Ort derCentren der Kugeln, welche zwei gegebene Kugeln normal schneiden,ist die Chordalebene der beiden Kugeln; der Ort der Centren der