§ 4- Die Kugel.

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Kugeln, welche drei gegebene Kugeln normal schneiden, ist dieChordalachse der drei Kugeln; es giebt eine Kugel, die vier gegebeneKugeln normal schneidet, ihr Centrum ist der Chordalpunkt der vierKugeln.

5. Ist K x = x 2 -+- y 2 -+- z 2 — 2 a x x — 2 b x y — 2c x z -+- d x und

K 2 es x 2 -hy 2 + z 2 — 2a 2 x — 2 b 2 y — 2 c 2 z -+- d 2 , so istK \ X K X -f- \ 2 K 2 = 0

die Gleichung einer Kugel; das Centrum hat die Coordinaten

r _ *i a i + ^2 a a , _ b x + \ 2 b 2 _ + * 2^2 .

Xj + X 2 ’ X 4 ■+■ X 2 ’ X 4 -t- X 2 '

dasselbe liegt daher auf der Geraden der Centren C x und C g der Kugeln K x — 0und K 2 =0 und theilt die Strecke K x K 2 im Verhältniss X 2 : X r

Durchläuft das Verhältniss X, : X 2 alle Werthe, so erhält man eine unend-liche Folge von (realen und imaginären) Kugeln; die Gesammtheit dieser Kugelnheisst ein Kugelbüschel.

Durch jeden Punkt P 0 des Raumes geht eine Kugel eines Kugel-büschels. Denn bezeichnet man mit K xo , Ä' 20 die Werthe, welche die Poly-nome K x und K 2 annehmen, wenn man in ihnen x, y, z durch die Coordinatenx 0 , y 0 , z 0 ersetzt, so geht K durch I\, wenn die Bedingung erfüllt ist

Xi^ 10 -4- \ 2 K 2Xx 0.

Man kann daher X, = K 20 , X 2 = — K x 0 wählen und hat somit alsGleichung der gesuchten Kugel

k 2 ü k x - k xü k 2 = 0.

Diese Gleichung wird nur dann unbestimmt, wenn K x0 = K 2Ü = 0, d. i.k wenn P 0 auf den Kugeln K x und K 2 zugleich liegt. Punkte, die K x und K 2

gemeinsam sind, gehören allen Kugeln des Büschels an.

Da es in der Gleichung einer Büschelkugel K = X x K x -+- X 2 AT 2 = 0 nurauf das Verhältniss der Zahlen X t ; X 2 ankommt, so kann vorausgesetzt werden,dass Xj -t- X 2 = 1 sei, so dass dann K — 0 in der Normalform erscheint (d. i.so, dass x 2 , y 2 und z 2 den Coefficienten 1 haben).

6. Die Chordalebene zweier Kugeln K, K' der Büschels K x , Ä' 2

K XjA'j H- \K 2 =0, ^ |x 1 Ä 1 -+- |j. 2 Ä 2 = 0

hat die Gleichung

L — K — K’ -e (X 4 — HjJATj + (X, — ii,)Ar, = 0.

Da vorausgesetzt wird, dass X t -t-X 2 = 1, jj.j +)a 2 = 1, so folgt, dassX, — |A t = — (X 2 — p 2 ), also ergiebt sich

Mithin ist L mit der Chordalebene der Kugeln K x und K 2 identisch. DieKugeln eines Büschels haben also eine gemeinsame Chordalebene.Aus jedem Punkte der Chordalebene eines Kugelbüschels als Centrum^ lässt sich daher eine Kugel construiren, die alle Kugeln des Büschels

1 normal schneidet.

Sind £ 2 , S? 3 , g 4 . . . die Chordalebenen, welche eine nicht zum Büschelgehörige Kugel Ä = 0 mit den einzelnen Kugeln des Büschels K x , K 2 , K 2 , K A . . .bestimmt, und ist

K 2 — XjjA'j -+- X 23 W 2 = 0, X 13 4- X 23 = 1 ,

K i — X 14 Aj -+- \ 2i K 2 = 0, Xj 4 •+• X 24 = 1,

so haben ? 3 und die Gleichungen

S 3 == XjgWj -+- X 23 Ä 2 — Ä = 0 , ^4 = ^14-^1 ^24-^2 Ä = 0 .

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