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Analytische Geometrie.

Aus diesen beiden Gleichungen kann man eine der Coordinaten, z. B. weliminiren; man erhält aus 2.

w — — (a u ßw -4- 8) : y .

Setzt man dies in 1. ein, so erhält man eine Gleichung in u und v, alsodie Gleichung, welche von den Horizontalspuren der durch P gehenden Tangenten-ebenen der Fläche <p — 0 erfüllt wird.

Diese Gleichung ist vom zweiten Grade. Da nun die Ebenen, welche durcheinen Punkt P gehen, und deren Horizontalspuren eine Curve zweiten Gradesberühren, die Tangentenebenen eines Kegels zweiter Ordnung sind (No. 10), sofolgt: Die Tangentenebenen einer Fläche zweiter Klasse (d. i. einerFläche, deren Gleichung in Ebenencoordinaten vom zweiten Grade ist), diedurch einen gegebenen Punkt gehen, umhüllen einen Kegel zweiterOrdnung. Diesen Kegel bezeichnen wir als den Tangentenkegel desPunktes P für die Fläche <p.

13. Bei den weiteren Untersuchungen werden wir von folgendem SatzeGebrauch machen: Bildet man aus den Coordinaten u x , v x , w x undu 2 , zweier Ebenen T x und T 2 mit Hülfe zweier Zahlen A x und X 2

die Coordinaten einer Ebene T nach den Formeln

1.

Xi«i

X 2 « 2

t =

\nV n

W

Xj »1

X 2 k/ 2

A 1 ^ A 2 A 1 A 2 a 1 T" A 2

so geht T durch die Schnittlinie T X T 2 \ und umgekehrt: die Coordinatenjeder Ebene des Büschels T X T 2 können bei geeigneter Wahl des Ver-hältnisses A x : X 2 durch diese Formeln gewonnen werden. Denn dieGleichung der Ebene T ist

ux -+- vy -+- wz — 1=0;

wenn man mit A x 4- X 2 multiplicirt, und u, v, w aus 1. substituirt, so erhält man7 = (^i^i -4- X 2 & 2 ) x + Q^i v i + X 2 z » 2 )y 4 - (AjWj -t- \ 2 w 2 ) z — (A x -f- X 2 ) = 0 .Hieraus folgt

T — Zj 4- X 2 T 2 ,

wenn T x = u x x -+- v x y 4- w x z — 1 , T 2 = u 2 x 4 - v 2 y 4- w 2 z — 1.

Da nun T x = 0, T 2 = 0 die Gleichungen der Ebenen T x und 7 2 sind,so folgt, dass T die Schnittlinie von T x und 7' 2 enthält.

Um den zweiten Theil des Satzes zu beweisen, hat man nur zu beachtendass die Gleichung jeder Ebene des Büschels T X T 2 in der Form erhalten wird

Te= KT, +x 2 7’ 2 = 0.

14. Wir fragen nun nach den Ebenen £ eines Büschels T 0 T, die eineFläche zweiter Klasse tp = 0 berühren.

Die Coordinaten von $ seien

A x « 0 4 - \ 2 u A x z> 0 4 - \ 2 v A x w 0 - 4 - l 2 w

Xi + x 2 Xj -+- X 2 Xj -+• x 2

oder, wenn man Zähler und Nenner in den drei Formeln durch X x dividirt undX 2 : X x mit p. bezeichnet:

„ _ u o + « _ v o + P v m _ w o + V- w

1 4- |x ’ 1 4- [x ’ 1 + jx'

Multiplicirt man nun die Gleichung

<p = au 2 - 4 - ’lbuv -+- 2 cuw 4 - dv 2 -+- 2 cvw -t- fw 2 4- < 2gu - 4 - 2hv 4- 2iw 4 - k = 0mit (1 4- p.) 2 und substituirt dann

(1 4- [x) U = U 0 ■+■ |XK , (1 4- [») # = v 0 ft.v, (1 -I- (x) » = w 0 - 4 - |l» ,

so erhält man

1. <p 0 4- 2 (<p* 0 ' • u -4- ■ V 4- <p w0 ' ‘ w + S u 0 + hv ü 4- iw 0 -4- k) ■ p - 4 - tp • fx 2 = 0