§ 5- Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen zweiten Grades etc.

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Hierin ist gesetzt

2. <p„' = au 4 - bv 4- cw 4 - g ,

3. tp*,' = bu - 1 - dv -t- ew 4- h ,

4. (fj = cu 4 - ev 4- fw 4- i ,

und <f 0 , <f uo '> 9 J 0 '> 9™o' bedeuten die Werthe, welche die Functionen <p, <p„',

9»’, 9«,' für die Coordinaten der Ebene T 0 annehmen.

Die Functionen <p K ', <p v ' <p w ' genügen der Identität

5. <f„' ■ u 4 - <p• v 4- tp J • w 4- gu 4 - hv 4- iw 4- k = <p.

Die Gleichung 1. ist zweiten Grades für p. Wir erfahren daher: Durcheine Gerade gehen zwei (reale oder imaginäre) Tangentenebenen einerFläche zweiter Klasse.

15. Es sei nun T 0 eine Tangentenebene von 9 . Dann ist 9 0 = 0 und dieGleichung No. 14, 1 hat eine Wurzel p. — 0, welcher die Ebene T 0 zugehört;die andere Wurzel ergiebt sich aus der linearen Gleichung1- 2 ( 9 * 0 ' • u 4 - 9 * 0 ' • v + 9«<o' ’ w ■+■ S u o -+■ hv a + iw o 4- k) 4- 9 • p. = 0.

Soll T so gelegen sein, dass beide durch die Schnittlinie T 0 T gehendeTangentenebenen der Fläche y mit T 0 zusammenfallen, so muss die Gleichung 1.die Wurzel p = 0 haben, es müssen die Coordinaten der Ebene T also dieGleichung erfüllen

Wir schliessen daher: Alle Geraden

Dies ist die Gleichung eines Punktes

auf einer Tangentenebene T 0 einer Fläche zweiter Klasse, durchwelche ausser 7 0 noch eine mit T 0 zusammenfallende Tangenten-ebene der Fläche geht, gehen durch einen Punkt.

Dies ist der Punkt, in welchem eine Tangentenebene der Fläche tp von denunendlich nahe benachbarten getroffen wird, mithin der Punkt, in welchem <p

welchem

Die Gleichung des Punktes,

berührt

eine

von

Tangentenebene 7’ 0 die Fläche zweiter Klasse <p = 0 berührt, ist daher

4- hv o

Nach der Identität No. 14, 5 hat man, da tp 0 = 0

— (?*o' • “0 -+■ 9*o' ‘ v o + 9«>o' • w o) = g u o -T hv o + iw o +und kann daher die Gleichung des Punktes P auch in der Form schreiben

P = 9*0'(» — u o) -ff 9*0' (v — v o) -ff 9wo'( K ' — ®o) = 0.

16. Der auf einer Tangentenebene T 0 gelegene Berührungspunkt wird nurdann unbestimmt, wenn in der Gleichung P — 0 alle vier Constanten zugleichverschwinden, also wenn die Coordinaten von T 0 den vier Gleichungen genügen

4 - ew/*o

gu 0 4 - hv 0 4- iw

Die Bedingung für den Verein dieser vier für u 0 , v 0 , w 0 linearen Gleichungen ist

a b c gb d e h

A' 3=

e

g h

Ebenso, wie in No. 4, erkennt man: Soll das System 1. eine eindeutig bestimmte Lösung haben, so müssen die Gleichungen

2 .