§14' Projective Punktebenen, Geradenebenen, Ebenenblindel und Strahlbündel. 357

B.

Ci

c,

R.

so erhält man für das gewünschte Verhältniss

B 's i ff$ a s

p \ B%

Pi'PJPz

In gleicher Weise kann man ableiten

P x P,

P,

R

R'

p < p i p < -

^ t m r s

wenn R' die Determinante bedeutet

ff.l'ff^’ff,:

R' =

Ai r x

A 2 B 2 r 2

A 3 b 3 r 3

Liegen P 2 und P 3 unendlich nahe an P x , so sind die Dreiecke P X P 3 P 3und P X P 3 P 3 verschwindend klein, und die Ausdrücke H 3 ,, H 3 ,,, H 33 einandergleich. Für das Verhältniss verschwindend kleiner an den entsprechendenPunkten P x und P x gelegener entsprechenden Flächen f und f' hat man also

/ _ ffii

f~R-

12. Wir wollen noch mit einigen Worten auf eine Abart der projectivenVerwandtschaft hinweisen.

Wenn A 3 = B 3 = 0, so ist auch A 3 = B 3 = 0 und die Functionen H 3 und// 3 ' reduciren sich auf die Constanten C 3 und P 3 . Wenn man sie noch alslineare Functionen von x und y, bez. von x' und y' betrachten will, so mussman sie als solche Functionen betrachten, in denen die Coefficienten der Coor-dinaten verschwindend klein sind. Den Gleichungen

H 3 = 0 und H 3 = 0

kann dann nur durch unendlich grosse Werthe der Coordinaten genügt werden,und wir schliessen daher: In diesem besonderen Falle der projectivenVerwandtschaft sind die Gegenachsen unendlich fern. Man bezeichnetdiese Art der Verwandtschaft als Affinität. Das Verhältniss entsprechenderFlächen wird in affinen Systemen

P\ P* P 3 _ ci

Pi'P.'R,' -R’

also unabhängig von der Lage der Punkte P x P 2 P 3 ■ Wir haben daher den Satz,der die charakteristische Eigenschaft affiner Systeme ausspricht: In affinenSystemen ist das Verhältniss entsprechender Flächen constant.

Da in affinen Systemen einem unendlich fernen Punkte in 2 ein unendlichferner in 1' entspricht, so folgt weiter: Je zwei entsprechende Gerade inaffinen Systemen enthalten ähnliche Punktreihen.

13. Die Gleichungen entsprechender Punkte zweier projectiven SystemeNo. 5, 7 beziehen sich auf Coordinatensysteme in den Ebenen 2 und 2'; durchdie Coefficienten \ x a x , X 2 <z 2 , X 3 a 3 . . . werden Beziehungen ausgedrückt, dievon jeder Coordinatenbestimmung unabhängig sind, diese Gleichungen geltenauch, wenn die Punkte von 2 und 2' auf räumliche Coordinatensysteme bezogenwerden. Wir wollen für die folgende Untersuchung voraussetzen, dass sie aufein Coordinatentetraeder bezogen sind.

Aus den Functionen P x , P 3 , P 3 . . . und aus einer willkürlich gewähltenlinearen Function in Ebenencoordinaten fl bilden wir die Functionen

P ’ —x 1 —

P\ ■+■ n,

p 1 —

-C 2 -

,n, p 3 ' = p 3 +

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