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Analytische Geometrie.

Durch die drei Punkte P x ' = 0, P 2 = 0, P ? ' = 0 ist eine Ebene 2 X be-stimmt, und P x ', /V, jP 3 ' sind die Projectionen von P x , 7 J 2 , 7 J ;j auf diese Ebene,von dem Centrum II aus projicirt. Die Identität

P x = *2 j P j —f- d g P 2 — t - d 3-^3 = d | P^ — f- d^P2 d£P% ~ t - ( d 101 - 3 — d 262 "-H 8II = - Hzeigt, dass P 3 ' die Projection des Punktes

Pi = a \P\ ~+- a 2-^2 "+" = 0

auf die Ebene 2 X ist; denn aus

P± = a \P\ d“ a 2-^V + a iP%

erkennt man, dass P 4 ' mit P x , P 2 ', P 3 auf derselben Ebene liegt, und ausPi' = d 1 P 1 -h d 2 P 2 d- d 3 P 3 -t- ( d 1 öj d- d 2 S 2 d- a s S 3 ) 11 ,dass PJ auf der Geraden P i 11 liegt.

In gleicher Weise ist ersichtlich, dass

j P — a \P / + ^2 a 2-^V + ^z a $P-i

= X 1 d 1 P 1 -+-X 2 a 2 P 2 X 3 d 3 P. 6 -+- (l-jöjäj d- ^ 2 rt 2 Ö 2 d- ^ 3 ^ 383 ) II = 0

die Projection des Punktes

2. P SEE -t- X 2 d 2 P 2 d- ^ 303-^3 = 0

auf die Ebene 2 X ist.

Aus den Formeln 1. und 2. folgt sofort der Satz: Die Centralprojectioneines ebenen Systems 2 auf eine andere Ebene ist dem Systeme 2projectiv. Hier ist die Parallelprojection mit inbegriffen, da sie als Central-projection mit unendlich fernem Centrum zu betrachten ist, und da die Schlüssesich nicht ändern, wenn 11 = 0 die Gleichung eines unendlich fernen Punktes ist.

In der Schnittlinie a der Ebenen 2 und 2 X sind zwei congruente Geradeder projectiven Systeme so vereint, dass die entsprechenden Punkte sich decken.Legt man durch II eine Gerade ß parallel zu a, und durch ß eine Ebene T so,dass der zwischen 2 und 2 X enthaltene Streifen der Ebene T von der Geraden ßhalbirt wird, so sind die Ränder dieses Streifens das andere Paar congruenterGeraden von 2 und 2 r Die Scheitel der beiden Paare congruenter Büschelliegen in der Symmetrieebene der ganzen Figur, d. i. in der durch II gehendenNormalebene zu a. Die Ebenen, welche durch ß parallel zu 2 X und 2 gelegtwerden, schneiden 2 und 2 X in den Gegenachsen beider Systeme.

14. Zwei projective ebene Systeme 2 und 2' lassen sich immer solegen, dass das eine eine Centralprojection des andern ist.

Man lege 2' so gegen 2, dass in der Schnittlinie beider Ebenen zwei con-gruente Gerade T und T' mit den entsprechenden Punkten sich decken, undverbinde zwei Paar entsprechende Punkte A und A', B und B', der beidenandern congruenten Geraden; da diese V parallel sind, so liegen sie auf einerEbene, und die Geraden AA’ und BB' haben einen Schnittpunkt II. Verbindetman II mit zwei auf T liegenden Punkten C und D, und projicirt nun von IIaus das System 2 auf die Ebene 2', so bildet die Projection ein ebenes System2 1( das mit 2 , also auch mit 2 ' projectiv ist.

Die beiden auf derselben Ebene liegenden projectiven Systeme 2' und 2,haben vier entsprechende Punkte gemein A', B', C und D, von denen nichtdrei in einer Geraden liegen; folglich sind sie identisch; 2' ist also selbst dieCentralprojection von 2.

15. Die Gesammtheit aller Strahlen, die durch einen Punkt gehen, wird alsStrahlbündel bezeichnet. Sowie man das Ebenenbündel als Gesammtheitder Ebenen sich vorstellen kann, welche die Geraden einer Ebene von dem