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Integralrechnung.

^j/'(u)du = i[/(«) -/(O)] = 0

ergiebt sich f(sz) = /(0) .

Das die übrigen Coefficienten bestimmende Integral ergiebt durch theilweiseIntegration

//» coskudu = f(ti)cosku 4- kff(u) sin ku du ,

mithin ist

2 /* 2

— I f'{u) cos ku du = — [/(it) cos /£tt — /(0)] + k

Bk-

Die beiden Seiten der Sinusreihe darf man also nur dann diffe-rentiiren, wenn f'(u) innerhalb der Grenzen 0 und tt endlich ist, undwenn /(-) = /(0) = 0 .

9. Entwicklung einiger Functionen in periodischen Reihen.

A. Durch die Sinusreihe kann eine constante Grösse dargestellt werden.

Setzt man f(pc) = 1, so erhält man

n r 01 1 10, wenn k gerade,

2 / . , , 2 1— cos kr. ’ ö

bk — — I smkvdv = — •-,--= < 4

k

%k

, „ ungerade,

und daher

7t

4

sin 3 x sin 5 x sin 7 x

3 5

0 < x < r .

Für x = -g erhält man hieraus die I.F.iBNiTz’sche Reihe

1 I I

5 7 ^ 9 ~~ * * ■ •

B. Für die Entwicklung von fix) — x nach der Cosinusreihe ergiebt sich

- = 1 - i

4 3

A = ,! jxkx = |.A _ | f.

x cos kx dx = —

TZ

x sin kx cos k xk h

0

]■

TT 4 /

= 2 “ «V

cann man se

r (l “ “

&

cos X

Hierfür kann man setzen

7t

4

0,

wenn /■ gerade,

4

TZ k^

, „ k ungerade;

rz>r 3 x

5 x cos 7 x

3 2

r j 2 ^ 72 ^

3 x

rw 5 x cos 7 x

3 2

52 ^ Y2 1

-)•

0 < X < 7t ■

An den Grenzen der Gültigkeit, für x = 0 und x = 7t erhält man gleich-massig

1 1 1

8 1 + 3 2

ö 2

72