§ ii. Die periodischen Reihen und die Fourif.r’ sehen Integrale.

66s

Setzt man f(x) = x in die Sinusreihe ein, so entsteht

Bk

<k = —Jxsinkxdx = - |^-

xeoskx sinkx

k 2

, wenn k ungerade,

2

k’

Daher hat man1

„ k gerade.sin 2x sin'ix sinkx sin hx

2 * smx 2 1 3 4 ' 5

Ersetzt man hier x durch — x, so wechseln beide Seiten der Gleichungdas Vorzeichen; die Gleichung gilt also ebensoweit für negative x, wie für posi-tive, und man hat daher für dieselbe die Gültigkeitsgrenzen

— n < x < n.

Wir bemerken, dass dieselben Gültigkeitsgrenzen der Sinusreihe für jedeFunction von x bestehen, die für x = 0 verschwindet und mit x das Vorzeichenwechselt.

C. Setzt man in- der Cosinusreihe f{x) = cos^x, wobei p keine ganze Zahlbezeichnen mag, so ist

, 1 C , sin pn

1 0 = — I cosp.xdx = ---

2 f i r

Au = — I cosy.x coskxdx = — I [cos {k -+- p) x 4- cosik — |x) x] dx ,o

=4P

ir Lo

0 01 p sin{k -+- \i.)x sin{k — p) x

Daher ergiebt sich

TZ COS \IX

k - p

COSX COS 2x7

= (-1)*+1

2 |x sin pnn k 2 — p 2 '

2 p sin\i.n 2 p 2 l 2 — p 2

0 < x < t: .

22 — p 2

cos 3x3 2 — p 2

D. Um f(x) — sin pa; in eine Sinusreihe zu entwickeln, hat man

7t Tt

Bu = sin\>.x sinkxdx = — j [cos {k -+- p) x — cos(k — p) x] dx,

o ö

1 D sin(k -l- p) x sinik — p) x] . 2 ksin\i.n

= n |_0 - *=T\ = (_ 1} ' - ' — !’- 2 •

Mithin ist

tz sin px sinx 2 sin'ix 3 sin 3 x hsin5x

sinx

2 sin pn 1 2 — p 2

2 2 — p 2

3 2 — p 2

5 2

Macht man in C und I) die Substitutionen x=i), x — t: und x—^tz, so entstehtn 1 1 1 1 1

2p sin pn 2p 2 l 2 — p 2 2 2 — p 2 3 2 — p 2l n 111

2p 2

2p ' C0 * pn — l 2 - p 2

2 2 — p 2

1

1

3 2 — p 25

4 cos \pn l 2 — p 2 3 2 — p 2 5 2 —p 2die für jeden Werth von p gelten.

7 2 — p 2