§ ii. Die periodischen Reihen und die FouRlER’schen Integrale.

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selben Gesetze gebildet sei; man kann vielmehr die Curve CD (Fig. 534) auseinzelnen Stücken zusammensetzen, deren jedes einer andern Gleichung ent-spricht. Gilt

von 0 bis x t die Function f 1 ( x ) ,

» x \ it x 2 >1 i> 11 f 2 O*) >

,, x% ,, x 3 ,, ,, ,, f 3 (#),

,, X f —1 ,, TT ,, ,, ,, fr{?C) 1

so hat man jedes bei der Berechnung der Coefficienten A 0 A 1 A i ■ ■ B\ßi ■ ■vorkommende von 0 bis rc erstreckte Integral in folgender Weise zu zerlegen

71 * 2

Jfix) cos kxdx — jf.\ (x) cos kxdx -+-J / 2 i x ) kxdx0 0

*3 71

4- J/ 3 (x)cos kxdx 4- . . 4- J/ r (x) cos kxdx.

X^ X r —1

und die einzelnen Theilintegrale zu berechnen.

Um hierfür ein einfaches Beispiel zu haben, wollen wir annehmen, es sollfür x = 0 bis x = -J-t: eine beliebige, endlich bleibende Function ep(et) und von|- 7 t bis it die Function 9 (77 — x) gelten; für x = ergeben beide Functionenden gemeinsamen Werth 9 ( 3 - 71 ), so dass an der Uebergangsstelle keine Unter-brechung der Continuität eintritt. Für die Entwicklung in eine Sinusreihe hat man

Bk = — J' r f(x) sin kxdx 4 - J'y — x)sii

0 n

sin kxdx.

Substituirt man im zweiten Integrale 7t — x = t, so erhält man

7t «

7t -g- -ff

— x)sinkxdx = J<f(£)sink(ii — £)dl = — coskr. Jy(i)sinkldZ .

Tt 0 0

Da bei bestimmten Integralen auf die Bezeichnung der Integrationsvariabeinnichts ankommt, so kann man hier ü wieder durch x ersetzen, und erhältBk — 0 , wenn k gerade,

TT

7

= “ j' < ? ( x ) si>

sin kxdx , wenn k ungerade.

Daher hat man die Entwicklung

cp(et) = B x sinx 4- B s sin3x 4 - B^sinbx

wobei

Bk

3

cp (x) sin kx dx ,

und x auf den Spielraum von 0 bis 1 - angewiesen ist.Setzt man cp (et) = x, so erhält man

5 5

4 r 4 r

B^k+i = — I xsm{2k 4- 1 )xdx = — -

xcos{2k 4 - l).t sin(2k 4- l)et~|

2k 4 - 1

{2k 4- l) 2