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Integralrechnung.
E. Für die Function xsinx hat man
7t 7t 7t
J xsinx coskxdx = if xsin(k -+- 1 ) xdx — | f xsin(k — 1 ) xdx,0 0 0TT 7t
/ # . , x _ f— xcos(kdz\)x sin(kdz\)x~\ .
xsm(k ix: 1 )xdx = I- k dz \ - — (k zb l ) 2 J * a * so
J
xsinxcoskxdx = (— l)*+i
&
1 ‘
Auf den Fall k — 1 ist diese Formel nicht anwendbar; man findet hier direkt
7t 7t
/ x sin x cos xdx — — / x sin2xdx = — — .
2 / 4
0 0
Fügt man hierzu noch
7t
jx sin xdx = jc ,o
so gewinnt man die Entwicklung
1
COS X
xsinx — — H- —
2 2 4
cos 2x1 • I!
cos 3x cos 4 x
Die beiden Seiten dieser Gleichung ändern sich nicht, wenn x das Vorzeichenwechselt; daher gilt diese Entwicklung zwischen den Grenzen
- n < X < TZ .
Dieselben Gültigkeitsgrenzen für die Cosinusreihe treten für jede Functionein, die für entgegengesetzt gleiche x gleiche Werthe hat.
F. Bekanntlich ist (§ 5, No. 9)
y ‘ ev- x
ev- x cos kxdx = _f_ jp (9 cos ^ x ~b ksin kx) -4- C,
f . , ev-
J
\ev- x sin kxdx =
■k*
(p sin kx — k cos kx)
C.
Daher hat man
n
/
0
1
[■
ev- x cos kxdx =
9
e~ v- x cos kxdx = —
[X 2 + &
_9
9 2
(«o* cos kn — 1 ),^2 (e~v- n cos kn — 1 ),
J
ev- x sin kxdx =
“i lx sin kxdx —
je~v- x sii
jx 2 '4- k 2
k
9 '
(1 — ev- K cos kn ),
(1 — e-v-^cos kn).
Mit Hülfe dieser Integrale erhält man leicht die beiden Entwicklungen7 - ev- x -+■ e~v- x 1 cos x cos2x cosSx
2
2|X £0* - £-1*« ~ 2p.
ic ev- x — e~v- x sin x2 ev-* — e— 1 2 —u.
I 2
- p 2 2 2 + p 2 3 2 -9 p 22sin2x 3 sin 3 x
2 2 -h p 2
3 2
10. Es ist nicht nöthig, dass die Function fix), welche in eine Cosinus- bez.Sinusreihe verwandelt wird, innerhalb des ganzen Intervalles 0 und n nach dem-