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Integralrechnung.
ab' — a!b = 0; wird a' = na gesetzt, so ist alsdann b' = nb, und dahera!x -t- b'y = n(ax + by).
Setzt man jetzt ax by — z, so wird
bdy = dz — adx ,
und man erhält die Differentialgleichung
b(z -+- c) dx 4 - (nz -t- c') (dz — adx) = 0 ,in welcher sich die Variabein leicht trennen lassen*).
8. Als lineare Differentialgleichungen erster Ordnung bezeichnetman die Gleichungen von der Form
1 . y’ ~+- Py — Q >
wenn darin P und Q Functionen von x allein sind. Ist Q = 0, so lassen sichdie Variabein sofort sondern, und man erhält das allgemeine Integral
2. ly = — jPdx 4- C.
Wir wollen nun versuchen, das allgemeine Integral der Gleichung 1 . dadurchzu erhalten, dass wir in 2. die willkürliche Constante C durch eine Functionvon x ersetzen; vielleicht lässt sich diese Function so bestimmen, dass derDifferentialgleichung 1 genügt wird.
Ersetzen wir in 2. C durch z und differenziren, so ergiebt sichy’ = — Py 4- z'y .
Dieser Werth wird in 1. eingesetzt und liefert für z die Gleichung z'y = Q,oder, wenn y hierin gemäss der Gleichung
3. ly = — fPdx 4- zdurch x und z ersetzt wird,
jPdx
4. e z dz = Qe dx.
Hieraus folgt für z das allgemeine Integral
- U’dx
e z = fQe dx 4- C.
Daher folgt schliesslich das allgemeine Integral der linearen Differential-gleichung
— f/Vx / .. fPdx \
y = e \C 4- fQe dx) .
9. Beispiel. Die Curven zu bestimmen, deren Tangenten von derOrdinatenachse das geometrische Mittel der Abscisse und einer gegebenen Streckea abschneiden.
Die Differentialgleichung des Problems ist
y — xy' = Yax ,
Diese Gleichung ist linear; es ist P — — 1 : x, Q = — yaVx, und da-her das allgemeine Integral
/ 'dx / /» /— Cdx \
x (c — JVy e x dx )-
Nach Ausführung der beiden Integrationen erhält many = Cx 4- 2 Yax .
10. Das allgemeine Integral einer linearen Differentialgleichung erster Ord-nung kann auch auf einem andern Wege gefunden werden, den wir ebenfallsangeben wollen. Man versucht, die Aufgabe dadurch auf einfachere zurückzu-
*) Boole, A treatise on differential equations, 4. ed., London 1877, pag. 36.