§ 24. Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Veränderlichen. 835

führen, dass man y durch das Produkt uv zweier noch unbestimmter Functionenvon x ersetzt. Hierdurch erhält man die Gleichung

1. uv' -+- vu' -+- Puv = Q.

Bestimmt man nun u aus der Gleichung

2. u' -ff Pu = 0,

so bleibt zur Bestimmung von v die Gleichung übrig

3. uv' = Q .

Da es bei der Integration von 2. nur darauf ankommt, irgend eine dieserGleichung entsprechende Function von x zu erhalten, so kann man der will-kürlichen Constanten des allgemeinen Integrals von 2. einen solchen besonderenWerth geben, dass das Integral möglichst einfach wird. Die willkürliche Con-stante des allgemeinen Integrals der Gleichung 1. tritt erst .mit der Integrationvon 3. ein.

Die Gleichung 2. stimmt mit No. 8, 1 für den Fall Q = 0, überein; unddie Gleichung 3. ist von der Gleichung No. 8, 4 nicht verschieden, wenn man ydurch u und z durch v ersetzt.

11. Die nichtlineare Differentialgleichung

i- f +/(?)*= Q>

worin P und Q wieder Functionen von x allein sind, lässt sich in eine lineareverwandeln; setzt man nämlich f(y) — z, so ist /'(y) dy = dz und man erhält

z' -ff Pz = Q .

Auf diese Gleichung führt z. B. die folgende2. y' -t- Py = Qy» .

Dividirt man nämlich durch — y m \(tn — 1), so erhält man

— (tu - 1 )y-rn y' - (/ H — 1) Py—(m- 1 ) = — (/// — 1 ) Q ;

und diese Gleichung stimmt mit 1. überein, wenn man f(y), P, Q durch y-0» -1),— (m — 1 ) P, — (in — 1 ) Q ersetzt.

12. Das allgemeine Integral der nicht linearen Gleichung*)

/ -t- Py = Qy 2 -ff R

lässt sich angeben, wenn man ein particuläres Integral y = u dieser Gleichungkennt. Setzt man nämlich das allgemeine Integral in der Form voraus

y — u -t- v,

worin v eine noch zu bestimmende Function bezeichnet, so hat man für 11 und vdie Gleichung

u' ~h v' -+- Pu -+- Pv = Qu 2 + 2 Quv + Qv 2 4 - 11.

Nach der Voraussetzung ist

u' -+- Pu = Qu 2 -ff R,

daher bleibt zur Bestimmung von v die Gleichung

v' -ff (P —2 Qu)v — Qv^ .

Diese Gleichung fällt unter No. 11, 2 für m = 2.

Beispiele. A. Der Gleichung

y -t- Py = Qy 2 -ff 1 -ff Px — Qx 2

wird durch das particuläre Integral y = x genügt. Daher ist jetzt u — x, undfür v hat man die Gleichung

v' -ff (P — 2<2.*)z' = Qv 2 .

B. y -ff Py = jy 2 -ff P',

wobei P' für dP \ dx gesetzt ist.

*) Sturm, Cours d’Analyse, 5. td., t. II, Paris 1877, pag. 51.