§ 25. Differentialgleichungen höherer Ordnung mit zwei Veränderlichen.
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A , = 0, .
allgemein
Daher ist
y = •
k*
2 1 • 2-3
A%, -i=0, Ai,
A 0 > A s — 0,
^ = r
k *
1 ■ 2 ... (2»
2•3•4•5
A n
U (i
k' 1 x‘ l
1 • 2 • 3
k 4 Jt 4
1 ) °A n
sinkx
• 2 ■ 3 ■ 4 • 5 ) k x
Dieses Integral ist particulär, da es nur eine willkürliche Constante enthält.Substituirt man in 1.
sinkx
y = 2 • ■—-»
so erhält man für z die Gleichung
sinkx ,, kcoskx
z" 4- 2 -
je
2’ = 0,
Diese Differentialgleichung ergiebt
C,
Cj cotkx
C,
— sirflkx' k ^ 2 '
Ersetzt man hier C, durch — kC\, so erhält man für das allgemeine Integralvon 1.
C, zw kx -t- C^, sin kx
y = -A - 1 -.
y x
15. Ersetzen wir in der Gleichung2, y" — (et-2
y durch die Reihe A 0 -+- A^xIntegral
A 2 ec 2
3)7 = 0
I- . . . , so erhalten wir das allgemeine
y
A 0 I 1 -E
•(
•('
3
1
11 r
24
X 4- — x-'
23
240 "1
")
-)■
2-4 2•4•6'
ln der zweiten eingeklammerten Reihe ist das Bildungsgesetz der Coefficientenzwar nicht allgemein nachgewiesen, nach den ersten vier Gliedern scheint esaber, als sei diese Reihe
\ (x\ 1 {x\* 1
I
1
/aA 1 / 9 1 /jA 3
V 2 J~ l “ n W + nn \ 2 ) + • •
cei x ' J .
Um diese Vermuthung zu prüfen, setzen wir
y = xA- ri
in die gegebene Differentialgleichung; wir finden leicht, dass derselben genügtwird; mithin haben wir ein particuläres Integral gefunden. Zur Bestimmung desallgemeinen setzen wir
xei xi • z" -t- 2 ^ z’ = 0 .
Aus dieser Gleichung folgt sofort
, C -
" f x* 6 ’
z = H— Calso ist das allgemeine Integral von 2.
y = xei* 2 ^ ■+■ CI~e~ xJ dx^ .*)
16. Wir wenden uns nun zur Integration einer linearen Differential-gleichung, die nicht reducirt ist; die Integrationsmethode wollen wirzunächst an der Differentialgleichung II. O. zeigen.
*) Schi.oemilch, Compendium, Bd. I, §114.Schloemilch, Handbuch der Mathematik. Ud. IT.
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