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Integralrechnung.

Um das allgemeine Integral der Gleichung

1. y" + x x y + X 2 y = X

zu finden, liegt es nahe, zunächst die reducirte Gleichung zu integriren

2. y" -t- X x y' 4- X 2 y = 0,

und dann zu versuchen, ob man der Gleichung 1. vielleicht dadurch genügenkann, dass man in dem allgemeinen Integrale von 2.

3. y = c x y x -+- c 2 y 2

die willkürlichen Constanten durch passend gewählte Functionen von x ersetzt.Diese Methode, das Integral einer Gleichung aus dem Integral einer einfacherenherzustellen, wird als Variation der Constanten bezeichnet; wir haben vonderselben bereits in § 24 No. 8 und § 25 No. 11 Gebrauch gemacht.

Setzen wir nun in 1.

4. y = u x y x 4- u 2 y 2 ,

wobei also y t und_y ä bekannte Functionen sind, welche den Gleichungen genügen, J’i" + x \y\ "+■ X 2 y x = 0,

_ y," + = o,

so erhalten wir zunächst

,, u \(y\" "f- X x y x ' 4- X 2 y x ) 4- u 2 (y 2 " -+- X x y 2 4- X 2 y 2 )

-4- X x ( u x 'y x 4 - u 9 ’y 2 ) 4 - 2(u x 'y x ' 4- u 2 'y s ') 4- u x "y x 4- u 2 "y 2 = X.

Die erste Zeile verschwindet nach der Voraussetzung. Machen wir nun füru x und u 2 die Annahme

7. u x 'y x 4- u 2 'y a = 0,

so folgt zunächst durch Differentiation dieser Gleichung

8 . »!>/ + u-z'yi = — (»,'>! + « 2 "y 2 )-

Durch 7. und 8. reducirt sich 6. auf

■+■ « 2 > 2 ' = x -

Aus 7. und 0. folgen nun für u x und u 2 die Werthe„i_ x y 2 _ < _ Xy x

u 2

. y * yi

Daher ergiebt sich

Xy 2 dx

r, = / -

1 J y

-yo's

■+- >

y t yn —ysy i

Xy x dx

k

C,

.ZaJV — yiyi " ‘ ./ j'ijv — y^i

Das allgemeine Integral der nicht reducirten linearen Differential-gleichung zweiter Ordnung ist daher

/ Xy 2 dx r Xy x dx

y^y i' — y^i + y \h

io

y — y

C x y x 4- C 2 y 2 .

y rA's —y s y 1

Hieraus ist der auch direkt leicht erweisliche Satz ersichtlich: Das allge-meine Integral einer nicht reducirten linearen Differentialgleichungzweiter Ordnung wird erhalten, indem man zu einem particulärenIntegrale das allgemeine Integral der entsprechenden reducirtenGleichung fügt.

Bei der Verwendung der Formel 10. wird man unter Umständen mit Vortheilberücksichtigen, dass

Xy %

-7 = X:y s

■U

*)■

Xy x

A’sA'i —J'iJ'2 «xyyi/ j'iA 2

Beispiele. A. Die reducirte Gleichung

y" -+- 4- Wy = 0

hat bekanntlich die particulären Integrale

J 2 J 1