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Integralrechnung.

Soll nun c als Function von t allein bestimmbar sein, so muss die rechteSeite dieser Gleichung eine Function von t und c allein sein, sobald man in der-selben £ gemäss 3. durch x, y, c, t ausgedrückt substituirt. Dies tritt ein, wennnach der Substitution die Differentialquotienten der rechten Seite, genommen nachx und y, verschwinden.

Daher hat man, wenn man den Erfolg der Substitution durch die Buchstabenf, v, S andeutet, die Bedingungen

8 , „

0,

6 .

g/( vS - f ')

7.

8.

ix

8

8y

(vS - f<) = 0.

Die Ausführung der Differentiation in 6. ergiebt

02 /

(v z S 4 - vS z )z x —

v x S 4 - vS x

Nun ist zunächst

e 2 / c 2 /

8x8t 818 x

vP t 4 - ViP,

oxct

c*f

8V

8z8t

z x = 0 .

= vR t -t- v t R,

8z dtz x = — P: R.

Führt man dies in 8. ein und multiplicirt mit R, so erhält manS{Rv x — Pv z ) + v{RS x — PS, — RPt 4- PR,) = 0.. 8vR cvP , ,

Aus ~8x~ = TT fo gt

Rv. r — Pv~ = v(P, — R x );benutzt man dies, so erhält man schliesslich

S(P Z - R x ) + P[R t - S z ) + R(S X -P t ) = 0,d. i. die Gleichung No. 5, 5. Als ausreichende Bedingung für 7. erhält manebenso die Gleichung No. 5, 6.

Wenn daher die Bedingungen No. ö, 4. bis 7 erfüllt sind, so ermitteleman das Integral

9. _ _ f(x, y, z,t) = c

der Differentialgleichung

Pdx Qdy -\- Rdz — 0,

und bestimme hierauf c als Function von z ausgleichung I. O.

der Differential-

führt man diese Function in 9. ein, so ist 9. das Integral der GleichungPdx + Qdy 4 - Rdz 4 - Sdt = 0.

7. Bestimmte Systeme simultaner Differentialgleichungen. Untereinem bestimmten Systeme simultaner Differentialgleichungen versteht man einSystem von «Gleichungen welche (11 4 - 1) Variable und Differentialquotientenvon n derselben in Bezug auf eine — die unabhängige Variable — enthalten.

Wir werden zeigen, wie ein solches System durch Differentiation undsuccessive Elimination auf ein System von n Differentialgleichungen reducirtwird, deren jede ausser der unabhängigen Variabein nur eine abhängige undihre Differentialquotienten enthält.

Sind sämmtliche Gleichungen von der ersten Ordnung, so können sie aufdie Differentialquotienten

dx x dx 2 dx 9 dx H

dx ' dx ' dx dx

der abhängigen Variabein x t , x 2 , x 3 . . , x n reducirt werden; bringt man dieseGleichungen in die Form