§ 26. Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. 877
dx x \ d x a jV <, dx„ .V„
~dx = ~X ’ ~dx = X’ ' ' ‘ dx = ~X’
so kann man sie durch die Proportion ersetzen1. dx x : dx 2 : dx 3 : ... : dx = Wj : X 2 : X 3 :...: X ,
wo nun keine der n Variabein vor der andern bevorzugt erscheint.
Nach Jacobi werden die Integralgleichungen dieses Systems auf folgendemWege erhalten:
Man differenzire die Gleichung
dx jdx
X
(«— 1) mal nach x und ersetze nach jeder Differentiation die Differential-quotienten dxk : dx durch Xk : X\ alsdann erhält man mit 2. zusammen11 Gleichungen, welche die n Differentialquotienten
dx x d 2 x x d^x^ d*x x
dx ’ dx 2 ’ dx 3 ' ' ' dx*
durch die Variabein x, x t , . . . x n ausdrticken. Eliminirt man hieraus dieVariabein x a , x a . . . x„, so bleibt eine Differentialgleichung «ter Ordnung,welche nur die Variabein x x und x enthält,
( dx. d*x,\
X ’ X i' dx ’ ■■■■ dx* ) ■
Die n ersten Integrale dieser Gleichung seien
f
dx.
d*- ix,'
1 \ )
dx
dx“-" 1 y
(
dx jdx
d»- 1 x x
F,\
U, x x ,
dx*- 1 _
F n \
(
dx j
d*~ 1 x 1
!•*, x v
dx
dx*- 1
= C lf= C a ,
= C n .
Setzt man in diese Gleichungen die Werthe der (n — 1) Differentialquotientenvon *, ausgedrückt durch x, x x ... x,„ ein, so erhält man n Gleichungen mitn willkürlichen Constanten C x , C a . . C n , die Integralgleichungen des Problems.
8. Ehe wir die Betrachtung bestimmter Systeme fortsetzen, ergänzen wir,gestützt auf das in No. 7 Entwickelte, die in No. 1 bis G enthaltenen Untersuchungen,indem wir nachweisen:
Wenn die Bedingungen No. 5, 4 bis 7 nicht erfüllt sind, so wirdder Differentialgleichung
Pdx 4- Qdy -l- Rdz 4 - Sdt = 0
durch den Verein zweier Gleichungen genügt, welche eine willkür-liche Function enthalten.
Werden die linken Seiten der Gleichungen No. ö, 4 bis 7 der Reihe nach mitOi, £l, ip, © bezeichnet, so erkennt man die Identität1. — Pty + QQ 4 - Rdi 4 - 5 © ^ 0;
daher wird der gegebenen Differentialgleichung durch die Proportion genügtdx : dy: dz : dt = — iß : £}: Di: © .
Diese Proportion ist gleichbedeutend mit dem simultanen Systeme
dx
dt
w = ~
~ zT*-
dy
dt
G~ =
"©
dz
dt
IR =
©
2 .