§ 26 . Differentialgleichungen zwischen mehr als zwei Variabein. Bestimmte Systeme. S 79

02

?

qÜI

^ da dt

R

02

X

P«?< — — R,r//

8a dt ' ^ da dt 1 da dt

7 - = — S„ - <ft(Px<?a + Py’i/a 4- Ö*X«)

— MC?*?« -+- ör'l'« + Ö*X«)

— ’/t (Px'fx 4“ Pyfya 4“ Pz'/a) •

Durch Addition von 6 . und 7. folgt

g g 7 = — S a -+- tp„ [/V -H <j" (^ — Qx) 4- 'ft(Pz — W*)]

+ '1'« [C?t + ’/t(Qz — Py) -+■ r ft(Qx — Py)}

+ -fa [Pt + ?< (£r - />) + (Py - Qz)\ ■

Berücksichtigt man 4., sowie die Werthe von Q, 'S, so erhält man

Pt + UP’ - Qx) + -f,(Pz - Rx) = ^{<SPt + £>(Py - Qx) + 9i(Pz- Px)l= ~ (<BP t 4- (A, - P t ) [P(Py - Qx) + Q(Px - P.)]

+ p((Pt - Pz) (Py - Qx) + (a, - eo (p - ä,)]) .

Benutzt man hierin

P(Py ~ Qx) + Q(Px - Pz) = © - X J (Ö* - *,),

und setzt zur Abkürzung

(Py - (7.0 (7?/ - A.) + (P s - W r ) (Sy - ö<) -+- (ÖS - Py) (Pt - S.r) = A ,

so erhält man

P

Pt 4b M^>' - Qx) + - X*)

Ebenso folgt

A r

1.

Qt 4- ~fi(Qz — Py) 4- <ft(Qx — Py) — i>y 4 -

ö

P

Pt 4- r fl(Px - Pz) 4- tyt(Py - Qz) - ’^z 4" g A .

9.

©

Mit Hülfe dieser Gleichungen ergiebt sich aus 8 .

■gy == — 4- <p« 4 - Sj. <j /„ 4- A, •/,

Da nun

Sa = A x <fn 4- Aj.l^a 4“ A ef „ ,

wobei man ebenso wie in 9. nach erfolgter Differentiation x, y, z durch t, a, b , czu ersetzen hat, so erhält man schliesslich

1_ 0« _ A_

i dt S '

Integrirt man diese Gleichung nach t, so folgt

/!■

a = 2 D

Hierbei ist 91 die von t freie Integrationsconstante.In derselben Weise ergiebt sich

Ji

Jl

ß = 33<? , 7 = Sr

Setzt man diese Werthe für a, ß, 7 in die Differentialgleichung 5, und unter-drückt den gemeinschaftlichen die Variable / enthaltenden Faktor, so bleibt dieGleichung

10. ilda 4- i)db 4- d c = 0,

welche nur a, b, c enthält.