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Integralrechnung.

Die Integrale dieser drei Gleichungen seien

x = <f{t, a, b, c ),

3. y = <]>(t, a, b , c ),

z = x(*> a < b > c ) >

wobei a, b, c die Integrationsconstanten bezeichnen.

Durch 3. wird die gegebene Gleichung integrirt; diese Lösung des Problemsist aber nur eine particuläre; wir werden zeigen, wie man von ihr zur allge-meinen Lösung übergehen kann, indem man statt der Constanten a, b, c geeignetgewählte Functionen der Variabein setzt.

1). Differenzirt man No. 8, 3. nach allen darin enthaltenen Grössen, soerhält man

dx = (fi dt - 1- da 4- <p /,db 4- C dc ,

1. dy = 4 'i dt > a da -I- ’Sjidb -t- '\ c dc,dz = y ’tdt -t- y„da + yidb 4- y c dc.

Führt man dies in die gegebene Differentialgleichung ein, so erhält man

2. (P<f / 4 - Qtyt 4 - Ryi 4 - S) dt -f- a da -+- § db 4 - 7 de — 0,wobei

* = P’^a + Q 4 '« 4 " P’/n t

3. ß = P<ft 4- Qtyt -h Ryj ,,

7 = P<!(c 4 - Q ’l*c 4 - R y c ■

Die Gleichungen No. 8, 3 genügen unter Voraussetzung constanter a, b, cden Gleichungen No. 8, 2; folglich ist

4 - — (g' < «W — @ > ’b — .g, >

/V + C?<W + 4- 5 = L (— 4 - (_)£. 4- A'JK 4- SB) =- 0 .

■w

Die Gleichung 2. reducirt sich hiernach auf5. arf« 4- ßtfV 4 - "{de = 0 .

Ersetzt man in P, Q, R die Variabein x, y, z gemäss der GleichungenNo. 8, 3 durch /, a, b, c, so enthalten a, ß, 7 nur noch die Variable /; dieseVariable kommt in a, ß, 7 nur in einem gemeinsamen Faktor vor.

Wenn in i\ Q, R, S die Variabein x, y, z durch /, a, b, c ersetzt sind, sodeuten wir dies durch die Buchstaben P, Q, R, S an. Alsdann ist

(i. d7~St ^ Cf> " -t ” + ■

z, C^tb 0^7

= P 3-?; 4- Q -srjr. 4 - R f-k,oaot Oaot Oaot

4 - (Pi 4- P^9t 4 - P?$t -4 Ps/J) 9a

4 - (Qi 4 - Qx9t 4 - Qj <pi 4- Qz'/y) 4 *«

4 - (Rt 4 - Rx'fi 4 - Rytyt 4 - Rz ’/t ) ’/a ■

Die Differentialgleichung

Pdx 4- Qdy 4- R dz 4- Sdt = 0

wird identisch erfüllt, wenn die Gleichungen gelten

x = 9 , y = 4d z = 7>

dx : dy : dz : dt = : tyt : yt : 1 .

Wenn man aus diesen Gleichungen x, y, z durch t, a, b, c ausdrückt undin die Differentialgleichung substituirt, so erhält man daher die Identität

P 9‘ 4” Q tyt 4“ R // = — s.

Diese Gleichung ergiebt