winkligen Dreiecken kann aber noch erleichtert werden,wenn man sich nur eines einzigen rechten Winkels einfür allemal bedient, auf dessen einem Schenkel man jedesMal die erhaltene Hypothenuse aufträgt u. s. w. Es kannhier bei Bestimmung des Inhaltes sehr grosser Dreieckeder Fall eintreten, dass die gefundene mittlere Proporlional-Linie für die Grösse des Planimeters zu lang ist. In einemsolchen Falle erhält man das Resultat am leichtesten, wennman die Grundlinie des Dreiecks mit Hilfe des Halbirungs-zirkels in zwei oder vier gleiche Theile theilt, zwischeneinem solchen Theile und der Höhe des Dreiecks die mitt-lere Proportional-Linie und für diese Länge auf dem Plani-meter das Resultat sucht, welches man noch mit der Anzahlder Theiie, in die man die Grundlinie zerlegt hat, multi-pliciren muss.

Colberg gibt in seinem Schriftchen auch noch an, wiesein Planimeter nützlich anzuwenden sei, zur Bestimmungder Höhe eines Dreiecks, von welchem Grundlinie uud In-halt gegeben sind, dann zur Abschneidung gegebenerFlächengrössen von anderen grossem Figuren.

ad. 2.

a) Die Planimetertafeln oder Schätzquadrate.

Denkt man sich auf eine durchsichtige Platte von Hornoder Glas ein feines Liniennetz gravirt, das lauter gleichgrosse Quadrate von bekannter Seilenlänge, gleich irgendeiner Längeneinheit, bildet und überdeckt man mit dieserPlatte die auszumessende Figur, so ist der Inhalt derLetzteren gleich dein Produkte aus der Anzahl der dieFigur überdeckenden Quadrate in den bekannten Flächen-inhalt eines dieser Quadrate; da die Begrenzung einergewissen Anzahl solcher Quadrate eine gebrochene Liniebildet, so ist eine genaue Deckung mit der auszumessendenFigur niemals möglich, sondern es ist nur ein annäherndausmittelndes Zusammenklappen erreichbar, wessbalb dieGenauigkeit der Messung mit diesen Planimetertafeln auchnur eine sehr geringe ist.

b ) Der Haar- oder Fadcnplaniraeter von Oldendorp.

Zerlegt man eine auszuinessende Figur in lauter paral-lele Streifen, deren Breite immer der Einheit gleich ist,so ist der Flächeninhalt der ganzen Figur durch dieSumme der mittleren Höhen dieser Parallelstreifen aus-gedrückt. Oldendorp nimmt diese Zerlegung der Figurdurch ein einfaches Instrument vor, welches folgender-massen gebildet ist: Auf einem Messingrahmen (Taf. 6.Fig. 6) sind feine Fäden von Haaren oder Metalldrahtparallel unter sich und immer um die Längeneinheit voneinander abstehend, ausgespannt. Deckt man dieses Netzvon Fäden in geeigneter Weise auf die auszumessendeFläche, misst die mittleren Höhen ab, cd, ef etc. der da-durch erhaltenen einzelnen Streifen und addiert dieselben,so hat man den gewünschten Flächeninhalt. (In unsererFigur müssten die Stücke g, i und A noch besonders ge-schätzt, und das Stückchen A von der ganzen Summe ab-gezogen werden.) Um die mittleren Höhen schnell zuerhalten, bedient man sich eines Zirkels (Taf. 6. Fig. 7.),welcher, mit einem gelheilten Scheibchen verbunden, selbst

die Massangaben macht*). — Dass auch dieser Apparatkeine grosse Genauigkeit bietet, ist auf den ersten. Blickklar, zudem raubt das Abgreifen der einzelnen Höhenmit dem Zirkel, das Ablesen derselben auf der Scheibedes Zirkels und endlich das Addiren dieser Höhen unver-hältnissmässig viel Zeit.

c) Der Planimeter von Westfeld .

Dieser Planimeter beruht auf demselben Prinzipe, wiedie beiden vorgenannten Instrumente. Anstatt jedoch dieZerlegung der zu messenden Fläche in Quadrate oderParallelstreifen vorzunehmen, schlägt Westfeld eine Zer-legung in eoncentrische Ringe vor, deren Breite er immergleich der Einheit nimmt, und deren Mittellinien er durcheinen Zirkel (Taf. 6. Fig. 8 und 9.) misst ; dieser Zirkelist folgender Massen conslruirt: der eine Schenkel des-selben endigt in eine Spitze, der andere dagegen trägteine Rolle, die man auf den einzelnen Mittellinien derconcentrischen Ringe, in welche man die Figur zerlegthat, herumführt ; die Umdrehungen dieser Rolle werdendurch ein Rädchen R gezählt und geben immer die Längeje einer Mittellinie der concentrischen Ringstreifen; dieSumme dieser Längen gibt alsdann den Flächeninhalt derFigur an; damit die Oeffnung des Zirkels für jede einzelneLage desselben festbleibe, so ist zwischen seinen Schen-keln ein gezahnter Bogen B angebracht, in welchem einSperrkegel S eingreift. Westfeld beschreibt seinen Ap-parat in einem Schriftchen, betitelt: «Der Ringmesser»Götlingen bei Dietrich, "1826; er gibt die Genauigkeit des-selben auf 1 : 300 an. Der Ringmesser ist mangelhaft inmehreren Beziehungen: Ist der Zirkel w'eit geöffnet, sowickelt die kleine Rolle nicht mehr ihren aussersten,sondern da sie einen etwas abgerundeten Rand hat, einenkleineren Umfang ah; ferner ist es schwer, diese Rollegenau über den Anfang und das Ende der Mittellinie einesconcentrischen Streifens zu bringen, was doch verlangtwerden muss, endlich wird der Grad von Genauigkeitbei sehr unregelmässig begrenzten Figuren wohl ein nochgeringerer, als der durch Westfeld seihst angegebene von1 : 300 sein; zudem ist es überhaupt verwerfllich, denFlächeninhalt eines concentrischen Ringstreifens gleichdem eines Rechteckes zu setzen, dessen Basis die Mittel-linie des Streifens und dessen Höhe die Breite des-selben ist.

§ 3 -

Vorschlag von Gauss, C ul manns Theorie deseinfachsten Planimeters und dessen Idee zueinem F e I d p 1 a n i m e t e r.

a) Vorschlag von Gauss**. Gauss hat vor mehrals 70 Jahren (1790) einen sehr gediegenen Vorschlag für

*) Ein solcher Zirkel mit Massstab, nach Angabe des Techni-kers Fleischhauer in Halle a. d. S., durch P. Colla dortselbst an-gefertigt und für 7 Thlr. zu beziehen, ist überhaupt zum Gebrauche fürGeometer geeignet. Er besteht aus einem Handzirkel, an dessen einemSchenkel die Axe eines durch eine Feder niedergedrückten Steges be-festigt ist, während an seinem zweiten Schenkel die Axe einer kleinenRolle mit Zeigerwerk sitzt. Der Steg’, auf die Rolle gedrückt, gleitetauf dieser hin und dreht dieselbe, wenn die Zirkelsclienkcl bewegt werden.Das Justiren des Zirkels geschieht durch Verstellung seiner Spitzen,vermöge der aus der Figur ersichtlichen kleinen Klemmschräubchen.

**) H. B. Lübsen, Elementargeometrie, 9. Aufi., Leipzig , 1865.

§ 204, und hienach;

Trunk, die Planimeter etc. Halle, 1865 pag. 185.