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die Flächeninhaltsbeslimmung ebener Figuren gemacht;er ertheilte den Rath, die Flächen nicht mehr durch.Zer-legung in Dreiecke zu berechnen , sondern aus Abscissenund Ordinalen, deren Messung mittelst zweier senkrechtzu einander stehender und aneinander verschiebbarer,getheilter Lineale zu geschehen habe. Leider ist die Be-nutzung dieses Vorschlages an den Schwierigkeiten derAusführung gescheitert; der wissenschaftliche Werth des-selben gebietet uns aber hier etwas darauf einzugehen:
Des leichteren Verständnisses halber wählen wir einegeradlinig begrenzte Figur (Taf. 6. Fig. 10).
Wir ziehen neben dieser Figur in beliebiger Richtungeine Abscissenaxe OX und fällen darauf von jedem Eck-punkte eine Ordinale, welche wir uns aufwärts durch dieFigur hindurch verlängert denken, so ist dadurch die Ab-scissenlinie in (n—1) Theile zerlegt (einer oder mehreredieser Theile können = 0 sein und zwar wenn eine odermehrere Seilen mit der Ordinalenaxe parallel laufen),wenn die Figur n Seiten hat, und es ist klar, dass jederdieser Theile der Abscissenlinie mit zwei Ordinaten undeiner Seite der Figur oder mit einem Stück einer Seite einTrapez bildet, — kurz die ganze Figur (bis an dieAbscissenaxe gerechnet) ist in lauter Trapeze zerlegt, dietheils positiv, theils negativ sind. —
Bezeichnen wir die ganzen Seiten der Figur einfachmit A, B. C u. s. w. und Stucke dieser Seiten mit den-selben, jedoch riummerirten Buchstaben, so können wirden Flächeninhalt der Figur folgender Massen erst kurzandeuten :
1 Ai — 1 H — 2 Gi -j- 3 ßi-f- 4 Ei — 4 Di — 5 F f 7 C
2 ]A 2 . — 3 (h f '• II 2 [- r, E 2 — ä d 2
. — 4 Gi -f 5 B 3 . -6»J
. +6 B t .—ID',
Fläche =MHCB)-f (C) + {- DH !£) j-(-/•') 4wobei also 1 Ai das Trapez opmn und 1 II das davon zusubtrahirende Trapez 07nm; ferner 2 A 2 das Trapezplqn, und (A) = l4i -(- 2d 2 das Trapez o\qm be-deutet u. s. w.
Man sieht also, dass die algebraische Summe derTrapeze , welche die Seiten mit den aus ihren Endpunktengefällten Ordinaten und den dazwischen liegenden Stückender Abscissenlinie bilden, den Flächeninhalt der Figurauf sehr einfache Weise darstellt. Was die Vorzeichenbetrifft, unter denen offenbar ein enger ZusammenhangStatt findet, so lassen sich dieselben auf folgende Weiseerklären:
Wir können den Umfang einer Figur auf zweierleiWeise umgehen; einmal, indem wir die Figur selbstimmer zur Rechten, dann auch, indem wir sie immer zurLinken haben. Geht man vom Endpunkt einer der beidenäussersten Ordinalen, z. B. von 0 aus, und zwar steigendvon 0 nach 1, von 1 nach 2 etc., so unterscheiden sichdie Seiten ganz einfach durch -j- und —, je nachdem sievorwärts oder rückwärts laufen, d. h. je nachdem sie vonder ersten Ordinate weiter ab zu den folgenden oderwieder zurückführen. Hienach müssen also notbweridigA, B. C positiv, I) aber negativ, E wieder positiv sein etc.
Bezeichnet man demnach die Eckpunkte der Figur,
von einer der äussersten Ordinalen ausgehend, mit 0 , 1 .2 , ; die von einem beliebig genommenen Punkte O
abgemessenen Abscissen derselben mit xo, xi, X 2 .
und die zugehörigen Ordinaten mit t/o, t/i, t / 2 . (wobei
also xo— Om, xi — Oq .; yo — om, y 3 — \q .;
xi — xo — mqvorhergehende(D), . ,
. V» —f-v/i otn-|- iq
etc.), so kann man die
„ , . yo+yi . .
F=(xi — x 0 ) —„— 4 (x 2 -
, yi+vi ,, ,2/2 1 tu
-xi) —4- 4 (* 3 — 0 : 2 ) —2 -
2 t **1/ 2
Wir können auf diese Weise allen Trapezen derGleichförmigkeit halber das Plus-Zeichen geben, dennist eines derselben negativ, so ist die dazu gehörige Seilerückläufig, mithin auch die Abscisse des vorhergehendenPunktes grösser, als die des folgenden, und desshalb liegtdas Negative schon in dein Faktor, welcher die Höhe desTrapezes ausdrückt, so ist z. B. in
(— D)= (xi, — xi)
ys 4 ?/j
der Faktor (X 4 — x 3 ) wirklich negativ.Aus obiger Formel folgt:
(xi — xo) (yo + ?/i) + 44" (X 2 — Xj) (t/i -j- 2/2) -(- ■4 (*.1 — (y -2 4 2 / 3 ) 4-
_1_ J 4 (Xi — Xi) (2/3 + 2/4) 42 -i- (xj — .Ti) (t/4 + 2/s) +
-I- (a>6 - xs) (2/5 + J/g) 4
4 (x 7 — x 6 ) (t/6 + 2 / 7 ) +-f (x 0 — x?) (y 7 4 yo) •
Ohne die angedeuteten Multiplicationen wirklich aus-zuführen, sieht man leicht, dass je zwei aufeinanderfol-gende Produkte, nämlich das erste und zweite, das zweiteund drille, das letzte und erste, immer zwei gleiche undentgegengesetzte Theile enthalten, z. B. das erste, 4-®i!/i.das zweite —xjt/i etc., lässt man diese aus, so ist:
—i— [zco (2/7— 2 / 1 ) 4 (!/o- 2 / 2 ) 4- ^2(1/1 —Vs) 4 X:,(y 2 — yi)
4 . 4 *6 ( y>— 2/7) 4 xj (2/6—2/0)]
Diese höchst einfache schöne Formel (in welcher manauch die Coordinalen x, 1 / mit einander verwechselnkönnte) würde in Worten lauten: Man multiplicirejede Abscisse mit der nächst vorhergehendenund nächstfolgenden Ordinate und nehme vonder algebraischen Summe dieser Produkte dieHälfte. Es ist klar, dass diese Formel allgemein gilt,die Anzahl der Punkte möge noch so gross sein. Hat dieFigur auch krummlinige Grenzen, so findet man das Re-sultat desto genauer, je mehr Punkte man nnnimmt. Findetman es bequemer, die Abscissenlinie durch die Figurgehen zu lassen, so kann diess die Gestalt der Formelnicht ändern, weil diese Verlegung der Abscissenlinie
erstlich die Abscissendifferenzen (xi —xo)- selbst nicht
ändert, und was die Ordinaten betrifft, so ist, wenn auchjede um ±_ a geändert wird, doch immer(2/n. + a) — (24 ,T a) — y m —y v .
Was das bequeme Messen der Goordinaten betrifft, sobraucht man dazu zwei rechtwinklig verbundene Massstäbe,wovon der eine , an der Abscissenlinie fortgleilende