Schenkel die Abscissen, der andre zugleich die Ordinalenabliest.
b) Culmanns Theorie des einfachsten Planimeters*.)
Herr Professor Culmann in Zürich gibt in seinemWerke: «Oie graphische Statik» und zwar in dem Capitel:«Das graphische Rechnen», die Theorie der Planimeter voneinfachster Form.
Kr lässt einen in der Milte mit einer Rolle r ver-bundenen Stab ab (Taf. G. Fig. 11) auf einer Ebene eineFläche in der Art beschreiben, dass deren Begrenzungdurch die Anfangs- und Endlagen ab und a 1 b‘ des Stabesso wie durch die Wegeaa 1 und bb 1 , welche die Stabendenbeschreiben, gebildet wird ; er gibt alsdann den Beweis,dass der Inhalt der so begrenzten Fläche der Anzahl vonUmdrehungen, welche die Rolle macht, proportional ist.Wir wollen hier nur in kurzem Umriss die von HerrnProfessor Culmann angestellten Betrachtungen vorlegen,da Planimeter von so einfacher Form bis jetzt noch nichtangewcndel wurden.
Bewegt sich der Stab ab (Taf. 6. Fig. 11) parallelmit seiner Anfangslage, so ist klar, dass die Abwickelungder Rolle den senkrechten Abstand e der beiden Haupt-laeen des Stabes angibt; der Inhalt der durch den Stabvon der Länge I bestrichenen Fläche ist sodann einfachF = l- e.
Bleibt der Stab sich nicht parallel, (Taf 6. Fig. 12)so darf man nur immer zwei unendlich nahe auf einanderfolgende Lagen desselben betrachten, welche ein Viereckbegrenzen, von dem sich leicht zeigen lässt, dass dessenInhalt die Form
dF— l • de
habe: lauter solche kleine Vierecke bilden aber zusammenden Inhalt der vom Stab bestrichenen Fläche und da alleWege de sich zu der Gesamrntabwickelungslänge e derRolle summiren, so erhält man wiederF—l-e
wie oben.
Sitzt die Rolle jedoch nicht mehr in der Mitte desStabes, sondern (Taf. 6. Fig. 13) um das Stück l 1 vondieser Mitte entfernt, so muss von der Abwickelung &eder Rolle noch der Bogen l' . \cp abgezogen werden, wenndie Richlungsänderung des Stabes in positivem Sinne(von links nach rechts) wie in unserer Figur, erfolgte,hingegen addirt werden, wenn diese Richtungsänderungin negativem Sinne (von rechts nach links) stattfand ; manerhält sohin in vorliegendem Falle den Inhalt der vomStabe bestrichenen Fläche
F = i (e + 1*. qo).
Wichtig ist es, in jedem einzelnen Falle den Sinn zukennen, in welchem eine Fläche von dem Stabe bestrichenwird, und danach, besonders bei verschlungenen Figuren,zu entscheiden, welche Theile der Figur auf den Weg derRolle keinen Einfluss übten, und wie oft wieder andereTheile der Figur in dem durch die Rolle angegebenenInhalte Vorkommen. Wir verweisen jene geneigten Leser,
*) Culmann , die graphische Statik, Zürich , 1866, S. 43 ff.
welche sich für diesen Punkt besonders inleressiren, aufdas genannte Werk Culmanns S. 46—50.
e) Culmanns Idee zu einem Feldplanimeter*).
Herr Professor Culmann gibt uns folgende Idee : »Inder einfachen bis jetzt betrachteten Form ist das Plani-meter nicht angewendet worden, doch können wir unswohl denken, dass ein solches Instrument gute Diensteleisten würde, sobald es in so grossen Dimensionen aus-geführt werden müsste, dass es von einer einzigen Personnicht mehr regiert werden könnte. Wäre z. B. (Taf. 6.Fig. 14) auf der Mitte einer Stange, etwas länger als diegrösste Breite eines zu messenden Feldes, eine Art Wagen-rad befestigt, so wären zwei Arbeiter im Stande den Ap-parat so schnell, die Enden der Stange immer über denGrenzen haltend, über ein Feld wegzurollen, dass derGeometer kaum folgen könnte ; nichts weiter zu ihun hätte,als hintendrein zu spazieren, und am Ende des Feldesdessen Flächeninhalt am Zählapparat des Rades abzulesen.“
II. Die Linearplanimeter oder die Planimeter, welchesich auf rechtwinklige Coordinaten gründen.
§• 4 .
Die Planimeter von Hermann und Oppikofer,deren Verbesserung von Ernst, der Planometervon Sang un d die Rec hnen in aschine von Mosel y.
a ) Der Planimeter von Hermann.
Herr Professor B a uern fe i nd gibt uns sehr interes-sante Notizen**) über die Erfindung der brauchbarenKlasse von Planimetern, welche den Flächen-inhalt einer Figur durch blosses Umfahren ihresUmfanges ergeben und zu denen alle hier noch zubetrachtenden Instrumente gehören.
Die Idee, den Flächeninhalt einer Figur durch blossesUmfahren ihres Umfanges zu erhalten, welche Idee umso mehr überrascht, als Inhalt und Umfang in gar keinemanalytischen Zusammenhänge stehen, stammt von dem kgl.bayer. Trigonometer Joh. Mart. II erma nn***) (1814); denvollständigen Beweis hiefür liefern mehrere Bruchstückevon alten Manuscripten und Zeichnungen, nebst einerEnlscbliessung der kgl. Steuer-Kataster-Commission inMünchen , welche dem kgl. Baurath und Prof. Bauer n-feind unter dem 17. Juni 1855 von dem königl. Bezirks-geometer K u n i g in Straubing übersendet wurden, undwelche Herr Prof. B a u e r n f e i n d zum Theil miltheilte****)und sich bereit erklärte, die Einsicht der Originale mitVergnügen jedem zu gestatten , der ihm seinen darauf zie-lenden Wunsch zu erkennen geben würde.
Den wichtigsten Beleg bildet ein Conzept mit derUeberschrift : «Beschreibung einer Maschine zumAbnehmen des Flächeninhaltes aller geomet-rischen Figuren durch blosses Herum führeneines Stifts auf ihren Grenzlinien.» Hermanndrückt sich in dieser Schrift wie folgt aus :
*) Culmann’s grapli. Statik, S. 50.
**) Dingt, polyt. Journ., Bd. 137, S. 81—87.
***) Geb. am 22. Juli 1785 in Pfronten bei Füssen , 1808 zum Geodätenernannt und am 25. März 1841 als Trigonometer in München gestorben.
•***) Dingl. polytechn. .Journ., Bd. 137, S. 82—85.