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Theorie des Instrumentes.

Wir beziehen die zu messende Figur auf ein recht-winkliges Coordiriatensystem, dessen Axen den beidenHauptbewegungsrichlungen des Instrumentes parallel sindund dessen Ursprung mit jenem der Bewegung zusam-menfallt. Die y- Axe liege parallel zu den Schienen ns'und somit die a:-Axe parallel zur Kante des Lineales L.Bezeichnen wir mit:

r den Halbmesser der Trommel plus den Halbmesserdes Drahtes,

R den Halbmesser der Laufrolle,p den Abstand des Berührungspunktes der Rolle vomCentrum der Scheibe (p positiv, wenn das Centrumder Scheibe dem Zifferblatte naher liegt, als derBerührungspunkt der Rolle ; in der in unserer Fi-gur angedeuteten Lage ist somit p negativ, da hierdas Umgekehrte der Fall ist),p 0 den Werth von p beim Anfänge der Bewegung,cp den Drehungswinkel der Trommel und Scheibe,welcher einer Bewegung in der Richlung der :r-Achseentspricht, und

t! den zugehörigen Drehungswinkel der Laufrolle {cpund v im Bogenmasse ausgedrückt),so ist:

±_ x = r . cp . 1 )

d. h. der Weg des Fahrstiftes parallel der Linealkantewird auch von jedem Punkte des Drahtes zurückgelegtund ist somit gleich dem von der Trommel abgewickeltenDrahtstück; ferner ist das Bogenelement R. dv der Lauf-rolle gleich dem Elemente des Berührungskreises auf derScheibe, welches, da der Radius dieses Kreises veränder-lich und gleich +. (p 0 +. y) ist, durch +. (po +. y) dcp aus-gedrückt wird; es ist somit:

+. {po +. y) dcp — R . dv . 2 )

Aus Gl. 1 ) hat man :

±_ dx — r . dcp und somit:

dcp = +. ; subslituirt man diesen Werth

r

in Gl. 2 ), so ergibt sich:

(It

(Po +. y) — = R . dv

oder: (p 0 +. y) dx = R . r . dv und durch Integration:

Po x +_ f y . dx = R . r . v . 3 )

Die linke Seite dieser Gleichung drückt offenbar eineFläche aus, und zwar stellt der Ausdruck p a x ein Recht-eck und fydx, welches hier zwischen den Grenzen o undx genommen gedacht wird, ein rechtwinkliges Dreieck vor,dessen Hypolhenuse die Form einer der krummen Linienae, af, ag oder ah (Fig. 5 ) hat, von der Gleichung y =f{x)\ das -doppelte Vorzeichen deutet an, dass diese Drei-ecke bald additiv , bald subtraktiv auflreten. UnsereFläche auf der linken Seite der Gl. 3 ) hat somit eine dervier Regrenzungsformen aedc, afdc, agdc oder ahdc;die rechte Seite dieser Gleichung stellt ein Product ausden beiden constanten Faktoren R und r und dem ver-änderlichen Faktor v dar; es ist somit

der Drehungswinkel v der Laufrolle,der Fläche p 0 x ±. fy . dx proportional, wiediess auch beim Ernst’schen Planimeter der Fall ist.

Stampfer führt den Ausdruck der durch den Plani-meter dargestellten Fläche noch in einen andern bekann-ten Ausdruck über:

Als zu berechnende Figur wird ein geradlinig be-grenztes Polygon von n Seiten (Fig. 6) angenommen, des-sen Eckpunkte der Ordnung nach mit U, 1, 2, 3 , ... .(n-1) bezeichnet sind; p 0 , pi, p2 u. s. w. seien die Werthevon p, wenn sich der Fahrstift in 0, 1, 2 u. s. w.. be-findet. Ist der Winkel der ersten Polygonseite mit derAbscissenaxe = «i, so ist:y — x . lg a L ,

mithin nach Gl. 3 )

[■*=*

p Q Xi + I Xi . lg ai. dx — R . r . viJ x — o1 2

oder : po Xi -f- — x lg ai = R . r . t>ioder: R . r . vt = x, (p 0 + -y j/i).

Denkt man sich jetzt den Punkt 1 als Anfangspunkt derBewegung, dann Ib parallel zu om gezogen, und setztb 1 — x' und b 2 = t/‘, so wird für die Bewegung von tbis 2 ganz wie vorhin:

R.r .v2 = x‘ (p 0 + ^ y ')■

da aber x‘ = X2 — x t und y‘ — yi — yi, so ist auch:

R.r. V2 — [x 2 — xi) [pi + (j/2 — yx) ]

ebenso : R . r , v 3 = {x 3 — X2) [p 2 + («fc — 1 /a) ]

u. s. w. .

i

schliesslich R.r. v n = (x n — x n -i) [p»-i-f-~(j/n — */«—l)].

Nun ist: pi — p 0 + yi.

ebenso : pj = p 0 -}- «/*,

u. s. w. .

und allgemein: p m — p 0 -f- y m , berücksichtigen wirdieses in obigen Gleichungen und addiren dieselben, soergibt sich :

R.r .Sv = n (p 0 -f yi) +

+ (x2 — ®i) [p 0 H—|- (i/i -f- yi) ] +

+ ( 2 j — X2 ) Ipo + -f~ (f/j + 1 / 3 ) ] +

+.+

-I- (a'n — Xn-l) [po 4 " ~2 tl /«—1 + !/«)]»beim Ausmultipliciren fallen alle Glieder, welche p 0 zumFactor haben weg und es bleibt:

R .r .2 v ■= -- xi i/i -f- —■ (X2 — xi) {tji + t/2) +

+ -J {Xs — Xs) (j/2 + ys) +.+

4 - -J- (Xn — Xn— l) (yn —1 + yn )und es ist leicht einzusehen, dass dieser Ausdruck dieGestalt der Gauss’schen Formel § 3 unserer AbhandlungF = [® 0 (1/7 — j/i) + xi (yo — j/2) + x 2 {yi — y 3 ) -f-

x 3 (j / 2 — 2/4) +.+ ^6 {y 5 — y -) -j- xj (yg — 1/0) ]

hat und deu Flächeninhalt des Polvgones vorstellt. — Da