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der Rechtecke mit r und ist cp der Winkel, welcher demBogen % vom Radius r entspricht, so ist

2 rcpn

arc. ai m i = -ggp-.

nimmt man aber den vollen Winkel als Einheit an, sosteht

arc. ax m i = 2 rcpx.

Stellen wir nun im Punkte c eine Welle vom Radius r soauf, dass sie sich um c drehen kann, und wickeln wir umdiese Welle einen Faden, so wird, wenn wir diesen vonax in der Richtung der Tangente d, bis nach dx ziehen,der Bogen 2 rcpn = g von der Welle abgewickelt. Dieauf g stehende Flächeneinheit gr ist dann, wenn man sichden Bogen 2 rcpn rektificirt denkt:

gr — 2 r 2 cp 7 t.

Denkt man sich endlich an der Welle in radialer Rich-tung einen Stab ca» befestigt, an welchem ein Bleistiftverschiebbar angebracht ist, so beschreibt dieser Stift imPunkte ax befestigt mit dem Radius r, bei einer Drehungcp der Welle, den Bogen 2 rcpn — g, wodurch eine Flä-cheneinheit gr = 2 r Q cpa repräsentirt wird ; beider gleichenDrehung, also um den Winkel cp, beschreibt der Stift, wenner in 02, 03 u. s. vv. befindlich ist, mit den Radien 2r, 3ru. s. w. die Bögen 2. 2 r 2 cpx, 3 . 2 rcpn u. s. w. wodurchdie Flächeneinheiten 2 . gr — 2.2r 2 i/j:r, 3 . gr = 3 .2r 2 <p7tu. s. w. repräsentirt werden, welche den Rechtecken02 öi, 03 öi u. s. w. entsprechen. Drehen wir die Welleum einen Winkel 3 cp und halten wir dabei den Stift inai, so schreibt der Stift 2r . 3 <p. it = 3 . ircpit, welche Basisder Fläche 3 .2 r 2 cpn = 3 gr oder dem Rechtecke ai Ö3 ent-spricht u. s. w.

Stellen wir den Stift in die Milte zwischen c und aiein und wickeln von der Welle die Fadenlänge g, welchedem Drehwinkel cp entspricht, ab, so schreibt der StiftV t

den Bogen 2.-. cpx = ~ ircpa, was einer halben Grund-linie entspricht, es wird aber auch durch

i 2 r 2 cp 7 t die Hälfte der Flächeneinheit ausgedrückt.

ft

Dasselbe Verhällniss tritt ein, wenn man den Stiftnach ai steckt und die Hälfte von ai di abwickelt, und esist leicht einzusehen, dass das eben Vorgetragene auchauf jede Bruchzahl von r und cp, so wie für r == 0 odercp — 0, oder für r = 0 und <p = 0 Anwendung hat.

Eine Maschine zur Berechnung rechteckiger Flächenauf die eben angedeutete Art isi in Fig. 13 , Taf. 14 , dar-gestellt. Dieselbe besteht aus der Grundplatte G, aufwelcher der Schieber P befindlich ist, dieser trägt dieWelle T vom Halbmesser cai = r, auf welcher die ScheibeS befestigt ist; um die Welle T ist ein Faden geschlungen,welcher tangential zur Welle und parallel zur Bewegungs-richtung des Schiebers P liegt und in den Rändern x, xseinen Halt hat. Senkrecht zur ersten Bewegungsrichtungist die des zweiten Schiebers E, welcher einen FührstiftF und durch die Säule D mit dem Arm II den die Scheibemit seiner Spitze berührenden Zeichenstift trägt.

Es ist nun klar, dass bei der oben besprochenen Be-wegung des Führstiftes, durch den Zeichenstift die ent-

sprechenden Bogen auf der Scheibe beschrieben werdenund es ist nur noch ein Mittel nöthig, die Kreisbogen,welche die Maschine producirt, auf mechanischem Wegezu messen. Dieses Mittel ist das Laufrädchen R, in Fig. 14 ,Taf. 14 , welcher Apparat aus dem vorhergehenden durchEntfernung des Armes 11 mit dem Schreibstift und Sub-stitution des Rähmchens N mit den Säulen Di Dt, derWelle w mit dem Rädchen R und mit Zeiger und Ziffer-blatt, entsteht. Das Laufrädchen R vertritt nun die Stelledes Schreibstiftes und ist mit seinem Zeiger der Zählerder den Flächeneinheiten zugehörigen Grundlinien undsomit auch der Zähler der Flächeneinheiten selbst.

Die vorbeschriebenen Zusammenstellungen genügenzum Versländniss der Hauptlheile der Linearplanimeter.

Von den im Trunk’schen Werke angestellten Betrach-tungen wollen wir nur noch die folgende hier mit aufneh-men, indem wir im Uebrigen auf das genannte Werk selbst▼erweisen.

Es sei in Fig. 15 , Taf. 14 , der grosse Kreisbogen derScheibe S angehörig, der kleine Kreisbogen der Welleoder Trommel T, xx sei der aufgespannte und um dieTrommel geschlungene Faden; die Linie yt/o stelle denSchieber E dar und die Linie xxo deute die Hauptrich—tung der Grundplatte G an. Die Rechtecke m»i, mri6.m2fi, mn?, deren Seilenden beiden Hauptbewegungsrich-ungen parallel sind, sollen gemessen werden , dabei seicA = r — mmx = mxmj — mjp und

m n — arc. Ab = Zrcpn.

Stellt man den Führstift in m ein und das Rädchenin c und beschreibt mmi, so geht das Rädchen ohne Dre-hung nach A, und der Zeiger bleibt auf 0; von mx nach nigibt der Zeiger 1 an, weil 1.2 rcpn abgelaufen ist; von ntnach n bleibt der Zeiger auf 1 stehen, ebenso bei der Be-wegung von n nach m, weil hiebei das Rädchen auf c stehtund sich folglich nicht dreht.

Bei der Umfahrung des Rechtecks mmx nx n, dessenInhalt 1 durch den Zeiger angegeben wurde, ist das Räd-chen von c nach A, von A über den Bogen Ab nach ö undvon hier nach c zurückgegangen und hat also mit seinemBerührpunkte den Sektor cAb beschrieben. Diese Er-scheinung hat Manchen zu dem unrichtigen Schlüsseverleitet, als berechne das Instrument diejenigen Sekloren-flächen, welche beim Umfahren der zu messenden Figurenin der Scheibenebene sicli bilden; die Fläche des Sektorsist aber r 2 cpx , während die des Rechtecks 2 .r 2 cpx, alsodoppelt so gross ist. Denken wir uns aber über dem BogenAb — %rcpn einen senkrechten Cylinder von der Höhe raufgestellt, so ist dessen Oberfläche = %.r 2 it, gleich demInhalte des Rechtecks. Nennen wir daher die Bögen,welche das Rädchen auf der Scheibenebene mit seinemBerührpunkle beschreibt, die Lauflinien, so könnenwir, da alle Grundlinien der Flächeneinheitenauf der Scheibe in Bogeneinheiten verwandeltwerden, uns jede Fläche, die wir umfahren, ineinen Cylindermantel verwandelt denken, des-sen Leitlinie die Lauflinie, und dessen verti-kale Erzeugende — r ist.

Bei Umfahrung des Rechtecks mns findet man leicht,