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dass der Zeiger sich auf 3 stellt. Das Rechteck ist hierwieder doppelt so gross, wie der zugehörige Sektor vomRadius r und dem Centriwinkel 3 cp. Für das Rechteckm^n tritt der Fall ein, dass der Inhalt des Rechtecks demdes Sektors vom Radius 2 r und dem Centriwinkel cp gleichwird; ebenso bei Umfahrung der Fläche mn 7 .

Umfährt man das Rechteck mq , so zeigt der Zeigerwieder richtig 3 an; in diesem Falle ist die Fläche desSektors vom Radius 3 r und dem Centriwinkel cp ={'ir) 2 cpz = 9r 2 cpz , hingegen die Fläche des Rechtecks= 3r.2rrp.ir = 6 r 2 cpn, das Rechteck ist hier also kleinerals der Sektor, abermals ein Releg, dass die vom Beruhr-punkt des Rädchens gebildeten Sektorenflächen mit denumfahrenen Flächen weder der Form, noch stets der Grössenach gleich sind, gleichwohl aber das Instrument die Grösseder umfahrenen Flächen richtig anzeigt.

Wenn man die Gerade mi q , welche gegen die Null-linie geneigt ist, befährt, so wird, wenn F in »»2 und dasRädchen in A t die Bewegung beginnen, in .4i ein sehrkleines Stück des Bogens Aibi und wenn F in q und dasRädchen in 62 die Bewegung enden, so würde zum Schlussein sehr kleines Stück des Bogens Aib 2 in 62 beschrieben.Bei der ganzen Bewegung über m 2 q dreht sich die Trom-mel um cp, es wird die Fadenlänge 2rcp.r abgewickelt unddas Rädchen berührt den Bogen Ad b 2 welcher einerSpirallinie angehört, deren Radienvectoren bei gleichgrossen Winkelbewegungen, die einem gleichmässigenZunehmen der zur Nulllinie senkrechten Ordinalen derGeraden m 2 q entsprechen, gleich viel wachsen. Bei dembeschriebenen Vorgänge geschieht nun zweierlei:

1 ) das Rädchen wird in der Richtung seiner Axe umdie Länge m 2 P verrückt,

2) die Axe des Rädchens macht eine Winkelbewegungcp; die Ordinalen von m 2 q und also auch die Ra-dienvectoren der Spirale bilden eine arithmetische

Reihe, deren Mittelglied

cAi-\-cbi 2r-f-3r~ 2 — 2

= 2,5 r

cylo ist.

Wurden wir F in m 0 einsetzen und nach no führen,so würde in der Scheibe der Bogen Aobo = 2,5 . %rcpnunter dem Rädchen hinlaufen und es würde durch arc.2, 5 . 2rcp.r die F’Jäche r . 2 , 5 . 2rcpz = 2,5 . 2r 2 cp.~i = 2 . 2r 2 cpji

+ 0,5.2r 2 <par angezeigt. Das Rechteck »» 2 »Jo ist = 5 Rechteck

» 2 ? = Dreieck m 2 n 2 q; es ist daher das Rechteck m no= Rechteck m n 2 -j- Rechteck »12 no = Rechteck m n 2-{- Dreieck m 2 n 2 q = 2.2r 2 cpit -j- 0,5.2 r 2 cpx.

Aus dem Vorgetragenen ergibt sich, dass das Räd-chen aus der mit den Radienvectoren beschriebenen Spi-rale alle peripherischen (kreisförmigen) Längenlheile derCurve exlrahirt, und die in der Gurve enthaltenen radialenLängenlheile negirt. Der Schreibstift aber zeichnet beiderleiLängentheile, nämlich die radialen und die peripherischen,exlrahirt also nicht so, wie das Rädchen thut, die peri-pherischen Längentheile aus der Gurve. Die spiralför-migen Curvenlängen sind der Anzahl der Grundlinienein-heiten nicht proportional, weil sie auch radiale Längen-theile in sich enthalten. Sondert man diese aus der Länge

der Curve aus, so bleiben die peripherischen Längentheileübrig. Diese extrahirt aber das Rädchen und zählt sie mitseinem Zeiger am Zifferblatt. Bei Anwendung des höherenCalcüls bleibt die wesentlichste Eigenschaft des Rädchens,dass es peripherische Längentheile der Lauflinie extrahirt,verschwiegen, und desshalb gibt der höhere Galcul nichtdie gehörige anschauliche Klarheit über die Verrichtungdes Instrumentes.

Diese Aktion des Extrahirens der kreisförmigen Län-gentheile aus den Curven ist das Piquanteste am Instru-ment, und hinsichtlich der Genauigkeit, womit es geschieht,bewundernswürdig.

Da eine krumme Linie so angesehen werden kannals bestehe sie aus einer unendlich grossen Anzahl sehrkleiner gerader, bezüglich geneigter Linien, so gilt dasGesetz, w'onaeh der Planimeter geneigte Linien beherrscht,auch für jeden Punkt einer krummen Linie und somit fürdie krummen Linien selbst. Allein man kann dem Plani-meter, wenn er von Curven begrenzte Flächen misst,welche Curven nach einem bekannten Gesetze construirtsind, nur mit Hilfe des höheren Calcüls nachrechnen.

Wo man aber keine regelmässigen Curven hat, z. B.bei Krümmungen von Flüssen, bei Instrumenten, welcheihre Angaben in Curven machen, ist die mittlere Ordinale(der Radius des mittleren Kreisbogens Aobo in obigem Bei-spiele) selbst mit Hilfe des höhern Calcüls nicht zu ermit-teln. Mit Hilfe des Planimeters kann man aber dennochdie umschriebene Fläche messen. Dividirt man die vomPlanimeter angegebene Flächengrösse durch die gerad-linige Basis der Fläche, so erhält man eine mittlere Höhe(den mittleren Radius) und diese ist ein proportionalerAusdruck der in der Beobachlungszeit vorhanden gewese-nen Kraft oder Wärme etc.

III. Die Polarplanimeter oder die Planimeter, welchesich auf Polarcoordinaten gründen.

§ 8 .

Der Pola r p la n im e ter von Professor Amslerin Schaff hausen.*)

Die Polarplanimeter unterscheiden sich von den bereitsabgehandellen Instrumenten dadurch, dass sie sich beim

*) Wir fuhren Mer gleich die wichtigste Litteratur über diesenGegenstand an:

Schweiz , polyt. Zeitschrift. 1856. Bd. I., S. 31.

Amsler, „Ueber die mechanische Bestimmung des Flächeninh.eb. Fig. u Schaffh. 1856.

Dingler, polytechn. Journ. Bd. 140. S. 27 und 321. 1856.

Ibid., Bd. 141, 8.29, 326 und 330. 1856. (Streit zwischen Amslerund Decher).

Hannover , Architect. Vereinsblatt. Bd. 7, S. 290.

Cosmos, Revue encyclopßdique, t. VIII. Febr. 1856, S. 213.Vierteliahrsschr. d. naturf. Gesellsch. in Zürich , l. und 2. Heft,1856.

Trunk, die Planimeter etc. 1865. § 67.

Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde; Hunans, diegeometrischen Instrumente; Hunäus, praktische Geometrieu. a. a. O.

Cherest, Ueber Amsler’s Polarplanimeter, Civ.-lng. Neue Folge.Bd. XII., Heft 2, S. 47.

Junge, Eine Versuchreihe mit dem Amsler’schen Polarplani-meter, Ibid. S. 63.

Brehmiker, Theorie des Amsler’schen Polarplammeters. Berlin .1863.

Em. Schinz, Ueber Amsler’s Planimeter, Bern . Mitth. 1857.

F. H. Reitz, Theorie des Arasler’schen Planimeters. Hamburg .1868.