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Die Verlängerung und Verkürzung des Radiusveclorist demnach ohne Einfluss auf die Angabe des Instru-mentes.

2 ) Wenn sich zweitens der Radiusvcctor r und (mitBezug auf Fig. 8 , Tal. 16) also auch n um den unendlichkleinen Winkel dtp dreht, so bewegt sich der Punkt desUmfanges der Laufrolle, welcher auf der Ebene der Figuraufliegt, um ps = n dtp, die Holle dreht sich aber nur umpl, da nur der Theil der Bewegung in der Richtung derRollenebene eine Drehung der Rolle bewirkt, der Theilder Bewegung in der Richtung der Rollenaxe aber durchGleiten zurückgelegt wird.

Es ist aber:

pl = n dtp cos. ß

welcher Werth sich leicht durch die Polarmlänge b, dieFahrarmlänge l, die Rollenarmlänge d und den Radius-veclor ausdrücken lässt; es ist nämlich:

„ b 2 -M 2 + 2 dl r 2

nC0S ^ =-2f-27

und somit:

b 2 + P -{-2 dl

pt

21

dtp

21

dtp.

Das Integral hievon muss nach dem Vorhergehendendie Angabe des Planimeters für die Fläche sein. Um dieGränzen für das bestimmte Integral zu bestimmen, mussmau zwei Fälle unterscheiden, erstlich wenn sich der Polausserhalb der Figur befindet, und zweitens wenn er sichinnerhalb der Figur befindet. Im ersteren Falle muss von0 bis -j- cp und von 0 bis —cp integrirt werden. Bei derUmfahrung von der Rechten zur Linken geht der Fahrsliftdurch «i, «2 und a 3 , und dann über at, as nach a zurück;hiedurch wird mechanisch die Fläche P a m at, a 3 von derFläehe V a a 3 «2 «3 abgezogen, da die Rolle während desWeges a 3 U 4 as a rückgängig geht. Man erhält also dieDifferenz der genannten Flächen, die Fläche o (ij »2 a 3 w « 5 ,welche man bestimmen will. Diess ist unter I. im Fol-

— cp

geuden der Kürze wegen durch J ausgedruckt.

cp

Ist zweitens der Pol innerhalb der Figur , so ist zwi-schen u und 2i zu integriren, da der Radiusveclor einevolle Umdrehung macht. Man hat also durch Integrationobiger Gleichung:

I. Wenn der Pol ausserhalb der Figur.

Weg eines Punktes der Laufrolle (Differenz der Ab-^lesungen) nach der Umfahrung der Figur.|

—cp

— cp

’ f )2 4 /2 4 2 dl2t

dtp

-\-cp

Integral Null gibt:

dep, diess ist, da das erste

—cp

also wie zu beweisen

-J-cp

war, gleich dem Inhalt (durch Polareoordinaten ausgedruckt)dividirt durch die Fahrarmlänge.

II. Wenn der Pol innerhalb der Figur.

Weg eines Punktes der Laufrolle (Differenz der Ab—|lesungen) nach der Umfahrung der Figur., . . . J

2.i 2i

ftfi- l 2 -\-2dl, f r 2 ,

= J — 21 - dcp -jTi dcp

o 0

( 1,2 4 P-{-2dl)xl

2 1

0

also wie zu beweisen war, gleich dem Inhalt (durch Polar-coordinaten ausgedrückt) dividirt durch Fahrarmlänge pluseiner Gonstanten.

Nennt man nun den Weg eines Punktes des Umfangesder Laufrolle, nach Umfahrung der Figur, a und den In-halt J, so ist nach dem Gleichungen I und II:

Wenn der Pol ausserhalb der Figur befindlich:a == j oder J == al.

Wenn der Pol innerhalb der Figur befindlich:a— Constans — d oder J = — al -f~ Gonstans.

Der Inhalt ist also das Product aus dem Weg einesPunktes des Umfanges der Laufrolle mal der Fahrarmlänge,wenn der Pol ausserhalb der Figur befindlich. Wenn derPol innerhalb der Figur liegt, muss eine conslanle Fiächeaddirt werden.

Da es sich im praktischen Gebrauche nur um Verhäll-nisszalden handelt, braucht man natürlich die Dimensionendes Instrumentes nicht zu kennen, und bestimmt denWerth seiner Angaben durch Versuche.

Die Conslanle wird bekanntlich durch einen Kreis re-präsenlirt (siehe Fig. 9, Taf. IG), der vom Fahrslift be-schrieben w ird , wenn der Po! im Mittelpunkt diesesKr ■eises befindlich und die Bolle so liegt, dass sie sich beider Umdrehung nicht dreht, die Bollenebene mithin durchden Pol geht, und findet sich entsprechend dieser Bestim-mung wie oben durch Integration gefunden.

Es geht auch aus obigen Formeln I. und II. hervor,dass die Entfernung der Bolle vom Drehpunkt (d) und diePolarmlänge (b) nur auf die Conslanle von Einfluss, fürdie Richtigkeit der Angaben des Instrumentes aber ohneEinfluss ist, da d und b nur im Werthe für die ConslanteVorkommen. Es wird aber vorausgesetzt, dass die Rollen-axe dem Fahrann parallel ist, eine nolhwendige Bedingungfür die Richtigkeit der Angaben des Instrumentes.

N o c b e i n e a n d e re Form d e s I n s I r u m e 111 e s. Diewissenschaftlich interessante Idee Amsler's, Oppikol'er’sKegel und Welli's Scheibe, durch eine Ila 1 b k ug e I zuersetzen, darf hier nicht unerwähnt bleiben, da hiedurch eineeigenlhiimliche Form des Planimeters, wenn auch vonwenig praktischer Bedeutung, entsteht: Eine mitAxe ver-sehene Halbkugel K. Fig. 10, Taf. 16, rollt auf einer Bahn,und wird durch einen Wagen JF gerade geführt. Mit demWagen ist ein Stab CF verbunden, welcher sich um eine