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Flächenberechnung mit dem Polarplanimeter von Amsler.

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—

§ 9 .

Der Planimeter von Bouniakowsky in Peters-burg.*)

Wegen der Aehnlichkeit der Grundgestalt seines In-strumentes mit einem Pantographen, wird dasselbe vondem Erfinder planimdlre-panlographe genannt. Ueber Con-struction und Theorie dieses Instrumentes entnehmen wirder Decher’schen Mittheilung Folgendes: Vier gleich langesteife Lineale werden zu einem Rhombus ABCB (Fig. 11,Taf. 16) so verbunden, dass sie sich in ihren Ecken umsenkrechte Axen drehen können ; wird C festgesteckt, soist es möglich, mit A die Grenzen einer Figur zu umfah-ren und es wird dann die Diagonale CA in jeder Lageden Fahrstrah! eines Polarcoordinatensystems vorslelien,dessen Pol in C und dessen Axe noch zu wählen ist. Die3 gleich langen, ebenfalls steifen Lineale CE, FE und GEhaben die Drehaxe E gemein, das Lineal CE dreht sichum C und die Punkte F und E gleiten auf den LinealenDC und CB. Ist mit diesem System nun der vertikaleKreis aa .'derart verbunden, dass iseine Axe immer in CAund seine Ebene immer in FG liegt, so wird dieser Kreissich drehen, wenn CA seine Richtung ändert, dagegen sichnicht drehen, sobald A sich in der Richtung von CA be-wegt. Um den Kreis aa in dieser Lage zu erhalten , istdie Schiene FG, welche die Axe des Rädchens aa trägtdurch ein unveränderliches gleichschenkliges Dreieck bcdmit einem prismatischen Schieber cf verbunden, welcherauf FG senkrecht steht und in einem Schlitze des LinealesCE gleiten kann. Hat A den Umfang der Figur AMNAoder APRQA umfahren, so wird der entsprechende Dreh-winkel des Kreises dem Inhalte der umschriebenen Figurproportional.

Es sei AB = BC = l,

CE — FE = GE = a,

CH = h, CA = r, der Halbmesser des Kreisesaa sei = p,

Winkel ECB = ECD = X,der Winkel des Fahrstrahls CA mit der AxeCX = w,

*) Bull, pliysieo-imitli. de l’Acad. de St. Petersbourg, T. XIV', No. 10,1855, und hienach:

6. Decher in Dingt. Journ. 1856. Bd. 140. S. 27.

Trunk, 5 63.

der Drehwinkel des Kreises welcher derAende-rung Jw des Winkels w entspricht = Jcp,so hat man für ein conslanles r und h

p Jcp = h Jw .l)

Nun CG = 2 a. cos X, somit CH — h = 2 a cos 2 X

da nun CA — r = 21 cos X, so wird cos A = —

21

und

schliesslich

was in 1) gesetzt:

—

pF

r 2 Jw

ergibt. Es ist demnach, da a, p und l constahte Grössensind, der Drehungswinkel Jcp der Fläche des Kreissectorsvom Radius r und mit dem Cenlriwinkel Jw proportional.

Ist fernerr veränderlich, so hat man cp und r als Funk-tionen von w zu betrachten und erhält aus der letztenGleichung:

dep a 1 „

-r- = s r ~ » woraus für die

dw pt 2 2

Figur AMNA

1 1 t

cpi

epo '■

•F'J a “

r 2 folgt,

wenn

r = f(w) die Gleichung der Curve AMNA und epo und cpidie Ablesungen am Kreise aa am Anfang und Ende derBewegung des Punktes A bezeichnen. Folgt dagegen Ader Curve PRQ, so dreht sich der Kreis von P über Bbis Q vorwärts um den Winkel

Ai cp

Wl

? t2 J

dwi . - n 2 , wenn in und w„

ic 0

die Winkel XCQ und XCP der von C aus an die Curve ge-zogenen Tangenten mit der Axe CA'bezeichnen und »• 1 =/i(tz )die Gleichung der Curve PRQ vorstellt, und wenn A dieCurve QAP beschreibt, deren Gleichung r 2 = ft{w) sei, sodreht sich der Kreis aa um den Winkel

ti'i

At cp

~ij d "

~ r\ rückwärts;

mau

Wo

hat daher, wenn A wieder in P angekommen ist. als Dre-hungswinke! des Kreises: