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W I
Vl — tPo = Jl 'P — J 2 V — ~^2 j dw • § ( r ? — r P-
W 0
Es ist demnach in allen Fällen:
a 1 1 12
<P 1 - < P° = -^J, •/ = — ("P.
wenn J den Inhalt der von .4 umfahrenen Figur und cpden Drehungswinkel cpi — cpo des Kreises bezeichnet, u. z.auf denjenigen Winkel als Einheit bezogen, dessen ent-sprechender Bogen seinen Halbmesser gleich ist, so dasspcp die Länge des von dem Kreise aa abgewälzlen Bogensmisst.
Aus dieser Formel geht hervor, dass cp für ein gege-benes J und l um so grösser wird, je kleiner man cp im
Verhältnisse zu a macht, da dieses in seiner Grösse auf ^ lbeschränkt ist.
Bouniakowsky zeigte der Akademie zwei von Albrechtund Koulakow in Petersburg nach seiner Angabe verfer-tigte Instrumente vor. Es war l = 6" engl., p = 1",
3
a — - et oder 2,356", und die Drehung des Kreises wurde
4 ’ D
unmittelbar an diesem selbst mittelst eines Nonius abge-lesen, welcher yj^ des Kreisumfanges noch in 12 Theile
\
theilt, also des Umfanges angibt. Drückt man dahercp in n solcher Tbeile aus, so hat man
600
»; für die Planimeter von
Bounikovsky ist demnach allgemein
J
4 . 36 jr __ _8_ □"
~3“ ' 6ÖÖ'” — HX)”
und
ent-
spricht ein solcher Theil einer Fläche von yyg □" oder
11,52 □ dd‘", was unsern Anforderungen an ein solchesInstrument kaum genügen dürfte.
Die Decher'sche Abhandlung schliessl mit der Bemer-kung, dass aus der citirten Beschreibung und Zeichnungeine besondere Fürsorge zur Verhütung der vielen mög-lichen todlen Bewegungen nicht zu entnehmen sei, na-mentlich scheine nicht dafür gesorgt zu sein, dass dasRädchen mit seiner Unterlage in genügender Berührungbleibt; überhaupt würde die praktische Durchführung einessolchen Instrumentes, so einfach auch das Princip ist,wegen der vielen gleitenden und drehenden Bewegungenviele Schwierigkeiten darbieten, wenn dasselbe auf diemöglichste Genauigkeit Anspruch machen und den heu-tigen Anforderungen genügen sollte; zudem würde einInstrument (das von Albrecht ausgefiihrle soll freilich nur30 Silberrubel kosten) nicht sehr billig zu stehen kommen.
§ 10.
Der Planimeter von Prof. G. Decher in Augsburg. *)
Die Theorie des Planimeters von Bounikovsky führtsehr leicht auf eine Modifieation desselben, aus welcher
*) Decher, in Dingt. Jouru. 1856. Bd. 140, S. 39.
ein Instrument hervorzugehen scheint, das allen Anforde-rungen in Betreff der Zuverlässigkeit und Einfachheit derAusführung genügen dürfte. Aus der in § 9 gegebenenTheorie folgt:
1) Dass das Verhältniss der Winkel dep und dw, umwelche sich das Rädchen in Bezug auf seine Axe und derFahrstrahl in Bezug auf den Pol, gleichzeitig drehen, demQuadrat des Fahrstrahls proportional sein muss, so dassman hat:
d cpd w
■■ kr 2 ;
2) Dass der Winkel dep dem Abstand h proportional
ist, wenn die verlängerte Axe des Rädchens durch den Pol
geht, also diejenige Lage hat, welche die grösstmögliehsle
Zuverlässigkeit auf eine richtige Drehung des Rädchens
gewährt, oder dass für diesen Fall:
d cp h . ,
= - wird;d w p
3) dass in dem veränderlichen Rhombus ABCI) (Fig. 12,Taf. 16) zwischen den Seiten AD und DC von constanterLänge l, der veränderlichen Diagonale, welche den Fahr-slrahl r vorstellt und dem Winkel DCA = X, die Bezie-hung besteht:
r = 2 l cos A.
Daraus folgt weiter, dass der Abstand li dem Quadrat desFahrslrahls r, und wenn dieser durch die Diagonale einesRhombus gebildet wird, dem Quadrat von cos X propor-tional sein muss, so dass man hat
== - == N.cas 2 X wenn N eine conslantedw p
Verhältnisszahl bedeutet. Diese Bedingung wird aber erfüllt,wenn man von irgend einem Punkte F der Diagonale eineSenkrechte Ffl auf CD fällt, die Axe des Rädchens in CD liegend und längs CD verschiebbar annimmt und die Ebenedes Rädchens mit der Senkrechten FH zusammenfallenlässt, so dass H sein Mittelpunkt und CH = h wird. Dennman hat offenbar CH = CF. cos A = CF . cos- A: machtman also CE = a, so wird
= - cos 2 A r 2 , und man hat dom-
div p 4 pP
nach für den Inhalt einer Figur, welche mit A umfahrenwurde und für welche sich während dieser Umfahrung dasRädchen um cp gedreht hat:
r 2/2J = - pep,
a '
sowohl wenn der Pol innerhalb, als wenn er ausserhalbder Figur liegt.
Nach diesem Prinzipe kommt es also hauptsächlichdarauf an, das Rädchen in der Ebene der Senkrechten FIIzu erhalten und das einfachste Mittel dazu dürfte darinbestehen, durch den Punkt F die zu Ali parallele Schiern-JK zu legen, in J und Ii mit AD und HC beweglich zuverbinden, an ihr in F den Arm FH senkrecht zu befe-stigen und durch diesen das Rädchen längs DC verschie-ben zu lassen. Denn es ist leicht zu sehen, dass F aulder JK immer in der Diagonale liegen, dass also auch dasRädchen immer seine richtige Stellung haben wird. Eswird dadurch übrigens die Seite AB des Rhombus ent-behrlich, und wenn man F in der Milte von AC annimml.