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Kreis

unbekannte Mittelpunkt eines Kreises wird demnach gefunden, wenn man in demselben zweiSehnen zieht (Fig. 2, AB und EF), diese halbirt und in den Halbirungspunkten zwei senkrechteLinien errichtet (DC,GC); beide schneiden sich im Mittelpunkte. 3) Auf dieselbe Weise läßt sichauch durch drei Punkte ein Kreis legen (Fig. 3, ABI)). Man verbindet je zwei durch eine geradeLinie, halbirt diese und errichtet Perpendikel. 4) Die Tangente steht senkrecht auf dem Endpunktdes Radius (Fig. 1, FG J. OB) oder umgekehrt, eine im Endpunkte des Radius errichtete Senk-rechte berührt den Kreis in einem Punkte. 5) Der Peripheriewinkel ist halb so groß als derCentriwinkel, der mit ihm auf demselben Bogen steht (Fig. 4, ADB = y. 2 ACB). 6) AllePeripheriewinkel, die auf demselben Bogen stehen, sind einander gleich (Fig. 4, AEB — AFB— ADB — AGB = AHB). 7) Der Peripheriewinkel, welcher auf dem Halbkreise steht, istgleich einem rechten Winkel (Fig. 5, ACB — ADB — AEB = K). Demnach ist es leicht,über einer gegebenen Linie ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren. Soll diese Linie Hypotenuse(s. Dreieck) werden, so halbirt man sie und macht sie, indem man um ihren Mittelpunkt einenKreis beschreibt, zum Durchmesser; dann hat man nur innerhalb des Halbkreises einen Peripherie-winkel zu ziehen, so ist das rechtwinkelige Dreieck construirt, oder falls die gegebene Linie eineKathete werden soll, so legt man durch ihre beiden Endpunkte einen Kreis, sodaß diese Linie eineSehne, aber nicht ein Durchmesser wird. Dann zieht man von dem einen Endpunkte der Linie

den Durchmesser und verbindet den andern Endpunkt mit dem freien Endpunkte des Durchmessers.Dieser Lehrsatz bietet auch ein sehr bequemes Mittel dar, um zu prüfen, ob ein Winkelhakenrichtig ist. Man beschreibt einen hinlänglich großen Kreis, zieht den Durchmesser, legt die eineSeite des Winkels an den einen Endpunkt des Durchmessers und die Spitze des Winkels andie Peripherie, so muß die andere Seite des Winkels durch den andern Endpunkt des Durch-messers gehen. 8) Um von einem gegebenen Punkte B außerhalb eines Kreises an diesem eineTangente zu ziehen, verfährt man folgendermaßen (Fig. 5): Man verbindet den Punkt B mitdem Mittelpunkte des Kreises c, halbirt die Linie Bc und beschreibt um 0^ einen Kreis, welcherden ersten Kreis an den beiden Punkten T und I\ schneidet. Verbindet man dann B mit T oderT', so sind beides Tangenten, denn die Winkel cTB und cT,B sind rechte, und cT sowol wiecT' sind Radien. 9) Gleiche Kreisbogen haben gleiche Centri- und gleiche Peripheriewinkel(Fig. 6: wenn AB — DE ist, so ist Winkel o — o, und Winkel p — p*). 10) Zu gleichemCentri- oder Peripheriewinkel gehören gleiche Bogen (Fig. 6: wenn Winkel c — c t oder p = p x ,so ist Bogen AB = DE). 11) Soll ein Bogen (Fig. 7, ADB) halbirt werden, so sucheman den Mittelpunkt des Kreises 0, halbire AB und ziehe Oi, so wird die Berlängerung von Oiden Bogen ADB genau in seinem Mittelpunkte treffen. 12) Der Halbmesser läßt sich sechsmalim Kreise herum abtragen (Fig. 8), folglich ist der Bogen, welchen man erhält, wenn man denHalbmesser als Sehne in den Kreis abträgt, gleich 60°.