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8. Kapitel.

eine obere Grenze für den Bogen BC angab. Die durch sie er-reichte Annäherung ist jedoch weniger genau. Indem er nämlich(Fig. 54) durch Punkt C eine Linie CU zog, so dafs IJT = r = 1wurde, erhielt er als Schnittpunkt derselben auf BX den Punkt Y und

behauptete, dafs YB = tg y -f- 2 sin y > arc. B C sei, so dafs dieUngleichung besteht

3 sin x2 + cos x

< X < tg

X

3

I o *

-(- 2 sin — ■

Diese neue Ungleichung wird erhalten, indem man AK || IIYzieht und beachtet, dafs, da UT — UA = 1 ist, <)C KAB= •äfZ TT AS

= T —sein mufs. Es folgt dann sofort, dafs BY = BK

-)- K Y = tg TT . UL = tg y -f 2 sin y wird. Wie der erste, so

ist auch der zweite Teil der Ungleichung richtig, aber von Snelliusmangelhaft bewiesen. Um mit seiner Hilfe * zu bestimmen, wird

wieder = tg — -f- 2 sin# 0 gesetzt, und inan erhält hieraus mit

Benützung der Seite des 96-Ecks: y = , * — 3,1415928320,

ein Wert, der auf 6 Dezimalen genau ist 1 ).

Es mufs noch bemerkt werden, dafs diese beiden Gleichungensowenig, wie die seiner Zeit von Lansherg aufgestellte Formel,jemals als transscendente Gleichungen zur Bestimmung des Bogens xaufgefafst wurden. Einer solchen Forderung zu genügen, hätte auchdie damaligen Kräfte völlig überstiegen, wie sich bei jener bekanntenGleichung zeigte, auf die Kepler 1609 bei Untersuchung der Gestaltder Marsbahn gestofsen war und die nachmals den Namen: „dasKepler'sehe Problem“ erhielt 2 ).

An die theoretischen Ausführungen über die Berechnung ebenerDreiecke schliefsen sich in der Trigonometrie des Snellius dieLösungen geodätischer Probleme an, von denen wir, da wir ja dieAnwendungen der Trigonometrie grundsätzlich von dem Plane unseresWerkes ausschliefsen, nur eines vorübergehend bemerken wollen,weil es bisher einer viel späteren Zeit zugeschrieben wurde. Es ist

1) Albert Girard hat diese beiden Formeln des Snellius in seiner obenbesprochenen trigonometrischen Schrift angemerkt; später findet sich die ersterenoch wiederholt in der Litteratur, so bei Ozanam: Nouvelle Trigonometriei699, und noch bei Dienger, Handbuch der Trigonometrie 1855. Vgl. auchLe Paige, Mathesis X. 1890. 34 — 36 und Brocard ebenda. IX. 161. — 2) Es

ist dies die Gleichung rx-f-e sinx = ~ rn, die Kepler in seiner Astronomia,

Opera. Ed. Frisch III. 411 entwickelt.