Vom Auftreten Vieta’s bis zur Erfindung der Logarithmen.
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Kreis in C schneidet. Fällt man von C die Senkrechte G 0 aufden Durchmesser, so ergibt sich die Proportion RO:CO = BR: BX,
und hieraus BX = —„ T .— = ,- = r- a , - Snellius
MO 2r-j-rcosai 2 -f- cosa:
gibt nun an, dafs arc. BC^> XB ist, und da der Unterschied beider,wenigstens für kleine Winkel,sehr gering ist, so kann manarc. BC — BX = r ■ x setzenund hat dann die verlangteGleichung. Den Beweis fürdie Richtigkeit der obigenUngleichung hat Snelliusgeometrisch zu führen ge-sucht, jedoch ist derselbenicht einwandsfrei, woraufschon Kaestner aufmerksammachte 1 ). Erst Huygens ist es bei seiner Kreismessung gelungen 2 ),einen exakten Nachweis für sie zu liefern 8 ).
Zum ersterwähnten Gebrauche hat Snellius in seiner Trigono-metrie (p. 84—85) eine Arcus-Tafel berechnet, durch welche manden sich aus der Gleichung mittelst der bekannten Katheten sinxund cosa; im Längenmafs ergebenden Bogen x direkt ins Gradmafsumsetzen kann; dieselbe läuft für den Radius 10 8 sowohl von Gradzu Grad, als auch von Minute zu Minute.
Um zu sehen, wie Snellius die fragliche Formel zur Berech-nung von st benützte, haben wir nur den aus der Gleichung im
Längenmafs sich ergebenden Winkel x ins Bogenmafs umzusetzen3sina: 0 , , . 180° 3 sin x 0
Fig. 54.
und erhalten
und hieraus st
180° 2 -(- cos x° “““ -go 2 + cos x°
Legt man einen kleinen Winkel zugrunde, so liefert die Formeleine sehr gute Annäherung; so ergibt sich z. B., wenn 2CO die
Seite des 96-Ecks ist, für
3 sin 1°52'30"
9b ■
180°
~96~
1° 52' 30", also st ■■
2 4- cosT° 52 '30” — : 3,1415920272, also auf 7 Dezimalen genau, wäh-rend die Methode des Archimedes für das 96-Eck st nur auf2 Dezimalen liefert.
Übrigens hat Snellius noch eine zweite Gleichung zur Berech-nung von st entwickelt 4 ), die bisher nicht beachtet wurde, indem er
1) Geometrische Abhandlungen I. Sammlung. Göttingen 1790. 157 ff. —■2) De circuli magnitudine inventa 1654. 30 — 31. — 3) Man findet leicht dieRichtigkeit der Gleichung, wenn man in sie die beiden ersten Glieder derPotenzreihen für sinai und cosa; einführt, also nur bis zum dritten Grade geht.— 4) Cyclometricus. Prop. XXIX. p. 43 ff.
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