Deciare

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Dccimairechnung

verschiedenen zählenden Gütern, besonders bei Lederund bei Fellen, eine Anzahl von 10 Stück.

Deciare ist der zehnte Theil eines französischenAre; s. Frankreich.

Decigramme, der zehnte Theil eines franz.Gramme.

Deciliter, der zehnte Theil eines franz. Liter.

Decimalmaß nennt man jede Art von Maß, beiwelchem die größere Einheit immer 10 kleinere ent-hält. Es ist namentlich in Frankreich, Belgien, denNiederlanden, Italien, Spanien, auch in China,Japan rc. eingeführt.

Decimalrechnung oder Decimalbruchrech-nnng nennt man eme Rechnungsart, welche keineanderen Brüche kennt, als lOtheilige, lOOtheilige,lOOOtheilige rc., die man deshalb auch Decimalbrücheheißt, in denen die bloße Stellung des Zählers denNenner des Bruches angibt, so daß man diesen nichthinzusetzen darf. Man trennt die Ganzen von solchenBrüchen durch ein Komma (,), welches zwischen meh-reren Zahlen befindlich, auch das charakteristischeZeichen eines Decimalbruches ist. Z. B. 8 , CT heißt8 Ganze, 6 Zehntel, 7 Hundertel oder 8 Ganze,67 Hundertel; 9 , 008 heißt 9 Ganze, 8 Tausendtel.

Decimalbrüche, deren Zähler mehrere Ziffern ent-halten, können stets in mehrere andere, die zum Zäh-ler nur eine Ziffer und verschiedene Nenner haben,zerlegt werden.

Z B 482 ist soviel als -s* 4 ^0 -i- - 8 -^-^ 1000 1 ' 1000 1000

+

2

iööö

oder was das Gleiche ist

4

10

So oft man in einer zusammengehörigen, eineZahl bildenden Reihe von Ziffern, jede der letzterneine Stelle weiter von der Linken zur Rechten rückt,hat dieselbe nach unserem dekadischen Zahlensystemeeinen lOfach niederern Werth, als wenn sie an derStelle der anderen Ziffer stünde. Dagegen hat eineZiffer, wenn sie links vor einer anderen steht, d. h.wenn sie eine Stelle von der Rechten zur Linken ge-rückt wird, einen lOfach größeren Werth. Beieiner aus mehreren Ziffern bestehenden Zahl be-deutet daher die letzte Ziffer zur Rechten Einer,die nächste zur Linken stehende Zehn er, die dritteHunderter, die vierte Tausender, die fünfteZehntausender u. s. w.

Stehen bei dem Decimalbruch keine Ganze, so mußan die Stelle der Einheiten eine Null gesetzt werden.7,o schreibt man also 0,7; 7ioo = 0,07; 7, 000 =0,007. Jedem Decimalbrüche kann man, beliebig,rechts so viel Nullen anhängen, oder, wenn derendastehen, so viel derselben weglassen, als man will.Es wird dadurch nur die Form des Bruches, abernicht dessen Werth geändert, weil dann Zähler undNenner mit der Zahl 10 oder 100 oder 1000 u. s. w.multiplicirt oder dividirt werden.

19,27 ist also ebensoviel als 19,ober 19, 3700 rc.

Der gemeine oder gewöhnliche Bruch wirddadurch in einen Decimalbruch verwandelt, daß manmit dem Nenner des gemeiuen Bruches in den Zählerdesselben dividirt. Der Nenner ist als Divisor undder Zähler als Dividend zu betrachten Da aberder Zähler immer kleiner, der Nenner also in jenemkeinmal enthalten ist, so muß man den Zähler durchAnhängen von Nullen in eine lOfach kleinere Einheit

verwandeln, d. h. so lange mit dem Nenner divi-diren, bis letzterer darin aufgeht.

Z.B. 1 / i = 0,s ob. 1, 0 divid. durch 2=0, 5 *

Vö 9,40 ,, 2,00 ,, ,, 5 = 0,40-

% = °,7Ö II 3,00 „ „ 4 — 0,75.

14 /125 = 0,112 „ 14, 0 oo n n 125=0,112*

Sind aus einem unächten Bruche die Gan-zen auszuziehen und der Rest in einen Decimal-bruch umzuwandeln, so ist das Verfahren ebenso wieoben. Man dividirt mit dem Nenner in den Zählerund hängt zur Erlangung des Decimalbruches demZähler Nullen an.

Z.B. 2-/,, ober »/„ = 8 :17 = 2, 125 .

12-/o „ ’Vo = 6 : 77 = 12, 8 33 . ..

Bei solchen Divisionen kommen zwei Fälle vor:entweder geht die Division auf, oder nicht. Geht sieauf, so erhält man einen unperiodischen, end-lichen, geschlossenen Decimalbruch, welchem dergegebene gemeine Bruch vollkommen gleich ist. Gehtsie nicht rein aus, d. h. ist es unmöglich, einen Deci-malbruch zu finden, welcher dem gegebenen Bruchevollkommen gleich jst, so ist der Decimalbruch perio-disch, unendlich. Hiervon kann man zwei ver-schiedene Arten unterscheiden: a) die Periode oderperiodische, unvollständige Brüche, wobeisich eine und dieselbe Zahlenstelle fortwährend wieder-holt. Z. B.

7a — 0, 666 o. .. (Periode 6);b) periodische, wiederkehrende Brüche, wo-bei sich mehrere oder eine ganze Reihe Ziffern wieder-holen. Z. B.

7n = 0,454545 • * (Periode 45).

8 A = 0,4265714 •. * (Periode 428571).

Die Unvollständigkeit eines Decimalbruches wirddurch einige Punkte zur Rechten angedeutet; je mehrStellen man übrigens den unendlichen Decimal-brüchen gibt, desto näher kommt man dem wirklichenWerth des gemeinen Bruches. In der Praxis ge-nügen in der Regel 3 Stellen.

Die Verwandlung der Decimalbrüche in gewöhn-liche Brüche geschieht, wenn es endliche Decimal-brüche sind, dadurch, daß man bloß den Nenner unterden Zähler setzt und den Bruch, wo es möglich ist,vereinfacht. Z. B.

0,- = 6 /.o «= V»

0,75 = ,5 /ioo = S /4*

0,68 = 6 7lOO =*7*5.

0,433 = 43 7l000*

Jst aber ein unendlicher (periodischer) Decimal-bruch in einen gewöhnlichen Bruch zu verwandeln,so darf man nur die Periode, z. B. 0,333 ... alsZähler annehmen und ebensoviele 9 als die Anzahlihrer Stellen beträgt, als Nenner untersetzen

Sodann kürzt man den Bruch, so weit e«

möglich ist, d. h. man verkleinert, da die mehr alseinstelligen Perioden meist durch 3 oder 9 theilbarsind, durch 3 oder 9. Z. B.

0,333 . . . „ 8 / —. 1 /

'999... 9

0,2727 . . 303 / _. 3 /

-99997T ~ /,m “ /u -

Bei unendlichen Decimalbrüchen, die, wie z. B.0,8333 ... nicht gleich mit den ersten Stellen perio-disch sind, hat die Verwandlung in einen gemeinenBruch auf folgende Weise zu geschehen. Der Bruch0,866666... enthält vor der Periode noch die Ziffer8 . Nun ist der Bruch 0,8 = 8 /io, der Bruch 0,66666