182 MÉCANIQUE CÉLESTE.

l’espace. Tout se réduit donc à intégrer les équations différen-tielles (O).

Pour cela, nous observerons que si l’on a entre les n variablesæ (,) , x w , x {>) .... x {n \ et la variable t, dont la différence est suppo-sée constante, un nombre n d’équations différentielles donnéespar la suivante :

o

d‘. x wdt'

A.

d'—'.x®

dt‘

B.

d‘~~'. x®dt'~'

H. x {, \

dans laquelle on suppose s successivement égal à 1 , 2 , 3,. n;

A, B,... .II étant des fonctions des variables x w , x { '\ etc. et de t,

symétriques par rapport aux variables æ (1) , x [,] .a’'" 1 , c’est-à-

dire, telles quelles restent les mêmes, lorsque l’on y change unequelconque de ces variables dans une autre, et réciproquement;on peut supposer

/ç(l) —— _ ^.(B—IH-l) ^(1) . ^,(11 1 -*-») _ _ _ _|_ f t ( l) _ ^(B)

/£<«) —— a W . ^(B—i + i) _|_ ^(J) _ x {n-i->-i) .^(j) . ^(b)

^(n—1) __ ft ( n —'i . ^(n—'*) _|_ ■) # ^p(B—i-+->).^(n—i) #

a (1) , b {l) ... ,/i (l) ; « w , 6 W , etc. étant des arbitraires dont le nombreest i. ( n — i). Il est clair que ces valeurs satisfont au système pro-posé des équations différentielles : de plus, elles réduisent ceséquations à i équations différentielles entre les i variables #(»—

Leurs intégrales introduiront i' nouvelles arbi-traires qui, réunies aux i. (n — i) précédentes, formeront les inarbitraires que doit donner l’intégration des équations différen-tielles proposées.

Si l’on applique ce théorème aux équations (O), on voit quez — ax-\-by, a et b étant deux arbitraires. Cette équation est celled’un plan passant par l’origine des coordonnées; ainsi l’orbitede m est tout entière dans un même plan.