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LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE.

étant supposé formé d’une infinité d’éléments pris pour unité; cequi, suivant les notations actuelles, revient à intégrer la différen-tielle x n dx. Il fit voir que cette intégrale prise depuis x nul est ,ce qui lui donna l’intégrale d’une suite formée de différentielles

semblables. En considérant ainsi l’intégrale fdx.[\—x n ) s , lorsque net s sont des nombres entiers, et lorsqu’elle est prise depuis x

ï O 7Ï

nul jusqu’à x — \, il trouvera quelle est égale à

S + l .5-f-2....5-r-n

Si les indices « et 5 sont fractionnaires et égaux à ÿ, cette inté-grale exprime le rapport de la surface du cercle au carré de sondiamètre. Wallis s'attacha donc à interpoler le produit précédent,dans le cas où n et s sont des nombres fractionnaires, problèmeentièrement nouveau à l’époque où cet illustre géomètre s’enoccupa, et qu’il parvint à résoudre par une méthode fort ingé-nieuse qui contient les germes des théories des interpolations etdes intégrales définies, dont les géomètres se sont tant occupés,et qui sont l’objet d’une grande partie de cet ouvrage. Il obtintde cette manière l’expression du rapport de la surface du cercleau carré de son diamètre, par un produit d’une infinité de fac-teurs, qui donne des valeurs de plus en plus approchées de cerapport, à mesure que l’on considère un plus grand nombre deces facteurs : résultat l’un des plus singuliers de l’analyse. Mais ilest remarquable que \\ allis, qui avait si bien considéré les indicesfractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter cespuissances comme on l’avait fait avant lui. On voit la notationdes puissances radicales, par les exposants fractionnaires, em-ployée pour la première fois dans les lettres de Newton à Oldem-bourg, insérées dans le Commercium epistolicum. En comparantpar la voie de l’induction, dont Wallis avait fait un si bel usage,les exposants des puissances du binôme, avec les coefficients des

termes de son développement, dans le cas où ces exposants sont

].