4 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

des nombres entiers, il détermina la loi de ces coefficients, et ill’étendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puis-sances négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation deDescartes , montrent l’influence d’une notation heureuse sur toutel’analyse.

Cette notation a encore l’avantage de donner l’idée la plussimple et la plus juste des logarithmes qui ne sont, en effet, queles exposants entiers et fractionnaires d’une même grandeur, dontles diverses puissances représentent tous les nombres. Mais l’ex-tension la plus importante que cette notation ait reçue est celledes exposants variables; ce qui constitue le calcul exponentiel,l’une des branches les plus fécondes de l’analyse moderne. Leib-nitz a indiqué, le premier, dans les Actes de Leipsick, pour 1682,les transcendantes à exposants variables, et par là il a complétéle système des éléments dont une fonction finie peut être com-posée. Car toute fonction finie explicite se réduit, en dernièreanalyse, à des grandeurs simples, ajoutées ou soustraites les unesdes autres, multipliées ou divisées entre elles, élevées à des puis-sances constantes ou variables. Les racines des équations forméesde ces éléments en sont des fonctions implicites. C’est ainsi quec étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité,le logarithme de a est la racine de l’équation transcendantec x — a=o. On peut considérer encore les quantités logarith-miques, comme des fonctions exponentielles dont les exposants

sont infiniment petits. Ainsi Xlog. X' est égal à 1 —^-• doutes

les modifications de grandeur que l’on peut concevoir aux expo-sants, se trouvent donc représentées par les quantités exponen-tielles, algébriques et logarithmiques. Ces quantités et leurs fonc-tions embrassent, par conséquent, toutes les fonctions finiesexplicites, et les racines des équations formées de fonctions sem-blables embrassent toutes les fonctions finies implicites.