LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE. , 5

Ces quantités sont essentiellement distinctes : l’exponentielle a x ,par exemple, ne peut jamais être identique avec une fonction algé-brique de x. Car toute fonction algébrique est réductible dans unesérie descendante de la forme k.a?'+ le. af~ n '+ etc. or il est facilede démontrer que a étant supposé plus grand que l’unité, et xétant infini, a x est infiniment plus grand que kx n , quelque grandsque l’on suppose k et n. Pareillement, il est aisé de voir que dansle cas de x infini, x est infiniment plus grand que /i(log. x) n .Les fonctions exponentielles, algébriques et logarithmiques d’unevariable indéterminée ne peuvent donc pas rentrer les unes dansles autres : les quantités algébriques tiennent le milieu entre lesexponentielles et les logarithmiques; les exposants, lorsque la va-riable est infinie, pouvant être considérés comme infinis dans lesexponentielles, finis dans les quantités algébriques, et infinimentpetits dans les quantités logarithmiques.

On peut encore établir en principe, qu’une fonction radicaled’une variable ne peut pas être identique avec une fonction ration-nelle de la même variable, ou avec une autre fonction rationnelle.

Ainsi (î-f-af ) 7 est essentiellement distinct de (î-f-a.") 7 , et de

(1—a;)i

Ces principes londés sur la nature même des fonctions peuventêtre d’une grande utilité dans les recherches analytiques, en indi-quant les formes dont les fonctions que l’on se propose de trouversont suscejjtibles, et en démontrant leur impossibilité dans ungrand nombre de cas ; mais alors il faut être bien sûr de n’omettreaucune des formes possibles. Ainsi, la différentiation laissantsubsister les quantités exponentielles et radicales, et ne faisantdisparaître les quantités logarithmiques qn’autant quelles sontmultipliées par des constantes, on doit en conclure que l’intégraled’une fonction différentielle ne peut renfermer d’autres quantitésexponentielles et radicales que celles qui sont contenues dans