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THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

cette fonction. Par ce moyen, j’ai reconnu que l’on ne peut pasobtenir en fonction finie explicite ou implicite de la variable x,

l’intégrale I J’ai démontré pareillement que les équa-

J ^l — aX , -+-€x i

tions linéaires aux différences partielles du second ordre entretrois variables ne sont pas, le plus souvent, susceptibles d’êtreintégrées sous une forme finie; ce qui m’a conduit à une méthodegénérale pour les intégrer sous cette forme, lorsqu’elle est pos-sible. Dans les autres cas, on ne peut obtenir une intégrale finiequ’au moyen d’intégrales définies.

Leibnitz , ayant adapté au calcul différentiel une caractéristiquetrès-commode, il imagina de lui donner les mêmes exposantsqu’aux grandeurs; mais alors, ces exposants, au lieu d’indiquerles multiplications répétées d’une même grandeur, indiquent lesdifférentiations répétées d’une même fonction. Cette extensionnouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibnitz à ce théo-rème remarquable, savoir, que la différentielle n' imc d’un produitxyz, etc. est égale à (dx-h c/y-i-dz —etc.)", pourvu que dans ledéveloppement de ce polynôme on applique à la caractéristiqueil, les exposants des puissances de dx, dy, dz, etc. et qu’ainsi l’onécrive d r x.iï'y.d r "z, etc. au lieu de ( dx) r .{dyy.(dz) r \ etc. en ayantsoin de changer d°x, d°y, d°z, etc. en a:, y, z, etc. Ce grand géo-mètre observa, de plus, que ce théorème subsiste, en y supposantil négatif, pourvu que l’on change les différentielles négatives enintégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière des puis-sances et des différences dans tous ses développements; et par unesuite d’inductions très-fines et très-heureuses, il en a déduit desformules générales, aussi curieuses qu’utiles, sur les transforma-tions des différences et des intégrales les unes dans les autres,lorsque les variables ont des accroissements finis divers, et lorsqueces accroissements sont infiniment petits. Son mémoire sur cetobjet, inséré dans le Recueil de l’Académie de Berlin , pourlannée