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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

CHAPITRE PREMIER.

DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES À UNE VARIABLE.

2. Soit y* une fonction quelconque de x : si l’on forme la suiteinfinie

-t-Jco • t

on peut toujours concevoir une fonction de t, qui, développéesuivant les puissances de t, donne cette suite : cette fonction est

ce que je nomme fonction génératrice de y x .

La fonction génératrice d’une variable quelconque y x , est doncgénéralement une fonction de t, qui, développée suivant les puis-sances de t, a cette variable pour coefficient de l x ; et réciproque-ment, la variable correspondante d’une fonction génératrice estle coefficient de t x dans le développement de cette fonction sui-vant les puissances de t; en sorte que l’exposant de la puissancede t indique le rang que la variable y x occupe dans la série quel’on peut concevoir prolongée indéfiniment k gauche, relative-ment aux puissances négatives de t.

Il suit de ces définitions que u étant la fonction génératrice

de y x , celle de y x + r est ^ ; car il est visible que le coefficient de rdans p est égal à celui de f*- p dans u; par conséquent il est égal

à J*—

Le coefficient de t x dans u.

est donc égal ày*^,— y x ,

ou à la différence des deux quantités consécutives y x _, et y xdifférence que nous désignerons par A.y x , A étant la caractéris-