10 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

De là il est facile de conclure généralement que la fonction géné-ratrice deA‘. Y ‘.y x + T est

On peut généraliser encore ces résultats, en supposant queV .y x représente une fonction quelconque linéaire finie ou infinie,de y x , y x + 1 ,y M , etc. que Y’.y x soit ce que devient Y .y x , lorsqu’ony change y x dans Y.y x ;.que Y 5 .y x soit ce que devient Y\y x ,lorsqu’on y change Y.y x dans Y’.y x , et ainsi de suite; u étant lafonction génératrice de y x , n.s ' sera la fonction génératrice deY'.y x , s étant ce que devient Y.y x , lorsqu’on y change y x dans

l’unité, y M dans ÿ, y x +, dans i, etc. Cela est encore vrai, lorsque

i est un nombre négatif, ou même fractionnaire et incommensu-rable, en faisant toutefois à ce résultat des modifications conve-nables.

Représentons par 2 la caractéristique des intégrales finies, etnommons z la fonction génératrice de 2‘.y x , u étant la fonction

génératrice dey x ; — 1 ^ sera, par ce qui précède, la fonction

génératrice de y x . Mais cette fonction doit, en n ayant égardqu’aux puissances positives de t, se réduire à u, qui ne renfermeque des puissances positives de t, si l’on n’étend 1 intégrale mul-tiple S'.y x qu’aux valeurs positives de x; on aura donc alors

d’où l’on tire

u.v + A.V-'+B. t + C . . + F

z - (,- 0 ‘ " ’

A, B, C . F étant des constantes arbitraires qui répondent

aux i constantes arbitraires qu’introduisent les i intégrations suc-cessives de S‘.y x .

En faisant abstraction de ces constantes, la fonction génératrice