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LIVRE PREMIER, PREMIÈRE PARTIE,de S'. y x est u.^j — 1 ^ ; en sorte que l’on obtient cette fonction

génératrice en changeant i dans — i, dans la fonction génératricede A‘.y x ; A“‘.j x est donc alors égale à 2‘.y x , c’est-à-dire que lesdifférences négatives se changent en intégrales. Mais si l’on aégard aux constantes arbitraires, il faut, en passant des puissances

positives de ÿ —i à ses puissances négatives, augmenter u de la

série y 4- y -+- y -h etc. prolongée jusqu’à ce que le nombre

de ses termes soit égal à l’exposant de ces puissances. On peutappliquer des considérations semblables à la fonction génératricede V‘.j x .

On voit, par ce qui précède, de quelle manière les fonctionsgénératrices se forment de la loi des variables correspondantes.Voyons maintenant comment les variables se déduisent de leurs

fonctions génératrices, s étant une fonction quelconque de ÿ, sil’on dévelppe s‘ suivant les puissances de y, et que l’on désignepar - un terme quelconque de ce développement, le coelïicentde t x dans ^ sera k.y x +„; on aura donc le coefficient de t x dansu.s‘, coefficient que nous avons désigné précédemment par V‘.y x ,i° en substituant dans s, y x au lieu de -y 2 ° en développant ce

que devient alors s‘ suivant les puissances de y x , et en transpor-tant à l’indice x l’exposant de la puissance de y x ; c’est-à-dire, enécrivant y x _ l au lieu de (j*) 1 ;/*-<-> au lieu de (y x )\ etc. et enmultipliant les termes indépendants de y x , et qui peuvent êtrecensés avoir (y x )° pour facteur, pary x . Lorsque la caractéristique

V se change en A, s est, par ce qui précède, égal à y — i; on adonc alors

A‘.

y*=y*

i.

y*

*-(*—o

1 .2

y^i-t— etc.

2 .